Spezialfall? beim Mittelwert

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

Wenn man den Mittelwert mit z.B. diesen Werten sucht:
1;2;3;4;5

= (1+2+3+4+5)/5=3 so kann man auch schreiben:
= (1+2+3+4+5)/5=(5+1)/2

Wenn sich also die Werte um eine Konstante Zahl x erhöhen, so scheint man eine Abkürzung nehmen zu können. In diesem Falle war die konstante Zahl 1.
Anstatt alles addieren zu müssen, reicht es wenn man den Mittelwert aus der ersten und letzten Zahl errechnet.

Um es möglichst allgemein auszudrücken (ich hoffe ich habe hier keine groben fehler drin, bin ja kein mathematiker :smiley:):
[x1+(x1+b)+(x1+2b)+(x1+3b)/Anzahl x1]=[(x1+3b)+x1]/2

Wobei b die Konstante Erhöhung darstellt! Im obigen Beispiel war dies die 1.

Meine Frage ist also:
Warum kann man diese Abkürzung nehmen? Oder anders gefragt:
Wie kommt man von
[x1+(x1+b)+(x1+2b)+(x1+3b)/Anzahl x1] auf:
[(x1+3b)+x1]/2

Liebe Grüße :smile:

#2

Um es möglichst allgemein auszudrücken (ich hoffe ich habe
hier keine groben fehler drin, bin ja kein mathematiker :smiley:):
[x1+(x1+b)+(x1+2b)+(x1+3b)/Anzahl x1]=[(x1+3b)+x1]/2

Hallo,

das ist etwas kompliziert dargestellt, aber im Grunde richtig. Du meintest wahrscheinlich
[x1+(x1+b)+(x1+2b)+(x1+3b)]/Anzahl x1=[(x1+3b)+x1]/2
Was dahinter steckt ist die sogenannte Gauß’sche Summenformel,

\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{1}{2}n(n+1),

die man leicht direkt oder mittels vollständiger Induktion beweisen kann. Damit kannst du folgendermaßen umformen.

\frac{x_1+(x_1+b)+\ldots +(x_1+nb)}{n+1}=\frac{1}{n+1}\left(x_1+\sum\limits_{k=1}^n(x_1+kb)\right)
=\frac{1}{n+1}(x_1+nx_1+b\sum\limits_{k=1}^nk)=\frac{1}{n+1}(x_1(n+1)+b\frac{1}{2}n(n+1))=x_1+\frac{1}{2}nb,

was dem entspricht, was du auf der rechten Seite hast.

Gruß

hendrik

#3

Hi Hendrik!

Danke für die Antwort.
Ich kenne mich mit den Summenzeichen kaum aus. Das obere verstehe ich dennoch, wo du das Summenzeichen zum ersten Male benutzt hast.

Bei mir fängt es an zu hapern, wo du das b aus der Summenklammer(nennt man das so?) herausziehst und vor den Summenzeichen setzt. Das verstehe ich nicht. Was ich auch nicht verstehe ist, woher das n vor dem x1 kommt.

Es wäre nett, wenn du mir das sagen könntest. Oder wo ich mir das im Internet aneignen könnte.

Liebe Grüße :smile:

#4

Hi Hendrik!

Danke für die Antwort.
Ich kenne mich mit den Summenzeichen kaum aus. Das obere
verstehe ich dennoch, wo du das Summenzeichen zum ersten Male
benutzt hast.

Bei mir fängt es an zu hapern, wo du das b aus der
Summenklammer(nennt man das so?) herausziehst und vor den
Summenzeichen setzt. Das verstehe ich nicht. Was ich auch
nicht verstehe ist, woher das n vor dem x1 kommt.

Es wäre nett, wenn du mir das sagen könntest. Oder wo ich mir
das im Internet aneignen könnte.

Schreib dir die Summenschreibweise in die Schreibweise links mit den Klammern um und dann kannst du b und n ausklammern.

#5

Ich kenne mich mit den Summenzeichen kaum aus.

Ach so, okay, dann schreib ich es nochmal ohne Summenzeichen.
Zuerst mal die Gauß’sche Summenformel.

1+\ldots +n=\frac{1}{2}n(n+1)

Dann die Umformung.

\ \begin{array}{rl}\frac{x_1+(x_1+b)+\ldots (x_1+nb)}{n+1} & =\frac{1}{n+1}(x_1+(x_1+b)+\ldots +(x_1+nb))\ & =\frac{1}{n+1}(x_1+x_1+\ldots x_1 +b+\ldots +nb)\ & =\frac{1}{n+1}(x_1(n+1)+b(1+\ldots +n))\ & =\frac{1}{n+1}\left(x_1(n+1)+b\frac{1}{2}n(n+1)\right)\ & =x_1+\frac{1}{2}nb\end{array}

Das Summenzeichen dient vor allem dazu sich der Punkte zu entledigen. Dann weiß man auch genau was summiert wird und wieviele Summanden es gibt. Die Schreibweise

\sum\limits_{k=m}^nf(k)

mit mf(m)+f(m+1)+\ldots +f(n)

Gruß

hendrik

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#6

Hi Hendrik,

Danke für deine Bemühungen.

Ich denke, ich habe jetzt auch alles verstanden.
Bin mir nur gefühlsmäßig beim letzten Schritt nicht ganz sicher aber: Beim letzten Schritt wurde das (n+1) einfach weggekürzt, oder?

Die Schönheit der Mathematik ist schon verblüffend. Selbst für einen outsider wie mich :smile:

#7

Hallo,
ein wenig anschaulicher:
Du stellst in regelmäßigen Abständen Zaunpfähle auf. Bei einer ungeraden Gesamtzahl teilt der mittlere Pfahl die Strecke in 2 gleichlange Teile. Oder wie bist Du auf Deine Formel gekommen?
Freundliche Grüße und guten Rztsch
Thomas

#8

Hallo,

wenn Du von nur 2 Größen den Mittelwert bilden willst, dann ist es ja klar, dass man die beiden Größen addiert und dann halbiert.
Naja, und wenn Du jetzt zwischen erstem und letztem Wert noch andere (aber in gleichem Abstand) hast, dann ändert das am Mittelwert gar nichts.

Gruß
Olaf

#9

Hi OlafG,

Naja, und wenn Du jetzt zwischen erstem und letztem Wert noch andere (aber in gleichem Abstand) hast, dann ändert das am Mittelwert gar nichts.

Ja, aber wie drückt man das nun mathematisch aus, dass das nichts am Mittelwert ändert? Wenn man jetzt nicht unbedingt den „harten“ Weg? wie Hendrik geht? So hart finde ich den Weg nämlich gar nicht, weil man sich nicht um die ganzen einzelnen Werte kümmern muss.

Ich habe zum Beispiel auch noch folgende Überlegung:
Wir nehmen zwei Werte a und b. (b+a)/2=M ist der Mittelwert.

Was ist nun für solch einen Mittelwert (gleiche Abstände von a zu b) IMMER wahr?

Nun ja folgendes muss immer wahr sein:
Der Abstand (nur positive Werte sind Erlaubt) der ersten Zahl links vom Mittelwert plus der Abstand (nur positive Werte sind Erlaubt)der ersten rechten Zahl vom Mittelwert muss null ergeben. Dasselbe gilt für alle weiteren Zahlen.

Warum muss gerade genau dies für solch einen Mittelwert erfüllt sein? Was macht diese Charakteristik aus, sodass man erkennen kann, dass M tatsächlich der Mittelwert all dieser Zahlen ist?

Noch eine Sache ist immer wahr: Nämlich der Mittelwert zweier in dieser Art und Weise gepaarten Zahlenpaare geteilt durch 2 ergibt IMMER den gleichen Wert: Den Mittelwert.

Schade, dass ich das mathematisch alles nicht akkurat aufschreiben kann.

Ich frage mich ob man mathematisch auch so den Mittelwert errechnen darf?
Beispiel:

(1+2+3+4+5)/5=3 ODER: nun werden Zahlenpaare gbeildet, wie ich oben geschrieben habe: 3 ist der Mittelwert jetzt nehmen wir die erste Zahl rechts und links und errechnen den Mittelwert:

(2+4)/2=3
Jetzt nehmen wir das zweite Zahlenpaar:
(1+5)/2=3

Jetzt bilden wir den Mittelwert aus zwei errechneten Mittelwerten:
(3+3)/2=3

Das gleiche gilt auch bei einer geraden Anzahl von x-werten:
(1+2+3+4)/4=2.5

(2+3)/2=2.5
(1+4)/2=2.5

Das ist dich nun mal total spannend. Warum kann man einen Mittelwert in viele kleine Mittelwerte aufteilen und aus diesen Mittelwerten die Summe bilden, sodass wiederum der gleiche Mittelwert dabei herausspringt?

#10

kleine Korrektur

Der Abstand (nur positive Werte sind Erlaubt) der ersten Zahl links vom Mittelwert plus der Abstand (nur positive Werte sind Erlaubt)der ersten rechten Zahl vom Mittelwert muss null ergeben. Dasselbe gilt für alle weiteren Zahlen.

Es muss natürlich anstatt PLUS muss es natürlich MINUS sein…

#11

Beim letzten Schritt wurde das (n+1) einfach weggekürzt, oder?

Ja genau.

hendrik