Spezielles, symmetrisches, polynomiales GS

[regreb]

Hallo zusammen! Ich hab untenstehende Frage schon vor 2 Jahren mal gestellt, hab aber immer noch keine Lösung gefunden. Evtl. wäre auch schon der Name des mathematischen Teilgebiets das am ehesten dafür in Frage kommt hilreich.

Wie löst man:

\begin{eqnarray}
a_1 + a_2 + \cdots + a_n ;;& = & b_1 \nonumber \
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ;; & = & b_2 \nonumber \
\cdots & & \nonumber \
a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n ;; & = & b_n , \nonumber
\end{eqnarray}

für positiv reele a_i?

Anmerkungen:

\begin{itemize}
\item Konkret interessiert mich n bis max. 12

\item Man kann das GS irgendwie mit einer Vandermonde-Matrix schreiben (wie??)

\item die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen der Indices
\end{itemize}

Dankbar für jede Hilfe
r

[Che_Netzer]

Evtl.
wäre auch schon der Name des mathematischen Teilgebiets das am
ehesten dafür in Frage kommt hilreich.

Das dürfte meiner Meinung nach die Algebra sein. Oder die Numerik. Jedenfalls glaube ich, dass sich das nicht explizit nach a_i auflösen lässt; das müsste man numerisch berechnen.

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

mfg,
Ché Netzer

[regreb]

Evtl.
wäre auch schon der Name des mathematischen Teilgebiets das am
ehesten dafür in Frage kommt hilreich.

Das dürfte meiner Meinung nach die Algebra sein.

Ja, das war mir auch klar

Oder die
Numerik. Jedenfalls glaube ich, dass sich das nicht explizit
nach a_i auflösen lässt; das müsste man numerisch berechnen.

Ich glaub, das stimmt so nicht.

Für n=1 ist es trivial und für n=2 ist es auch einfach, für n=3 müsste es immer noch allgemein lösbar sein, sogar für n=4 vermute ich sollte es nicht allzu schwer sein. Dann gehen meine Probleme an und auch die ersten relevanten Anwednungen, …

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

Ja, ich wollte nur anmerken, dass ich das bereits bewiesen habe …

-) man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch

jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices symmetrisch ist …

msfg
r

[Hendrik_70c5fb]

Hallo zusammen!

Hallo!

Wie löst man:

\begin{eqnarray}
a_1 + a_2 + \cdots + a_n ;;& = & b_1 \nonumber \
a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ;; & = & b_2 \nonumber \
\cdots & & \nonumber \
a_1^n + a_2^n + \cdots + a_n^n ;; & = & b_n , \nonumber
\end{eqnarray}

für positiv reele a_i?

\item Man kann das GS irgendwie mit einer Vandermonde-Matrix
schreiben (wie??)

Du kannst dieses Gleichungssystem schreiben als

( 1 ... 1 )(a<sub>1</sub>) (b<sub>1</sub>)
( a<sub>1</sub> ... a<sub>n</sub> )(. ) (. )
( . . )(. ) (. )
( . . )(. )=(. )
( . . )(. ) (. )
( a<sub>1</sub><sup>n-1</sup> ... a<sub>n</sub><sup>n-1</sup> )(a<sub>n</sub>) (b<sub>n</sub>)

(Bitte entschuldige diese grauenhafte Darstellung, aber die Möglichkeit Matrizen in LaTeX darzustellen scheint innerhalb von w-w-w abgeschafft worden zu sein.)

Die Matrix ist eine transponierte Vandermonde-Matrix. Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Gruß

hendrik

[Che_Netzer]

Evtl.
wäre auch schon der Name des mathematischen Teilgebiets das am
ehesten dafür in Frage kommt hilreich.

Das dürfte meiner Meinung nach die Algebra sein.

Ja, das war mir auch klar

Wieso fragst du dann noch?

Oder die
Numerik. Jedenfalls glaube ich, dass sich das nicht explizit
nach a_i auflösen lässt; das müsste man numerisch berechnen.

Ich glaub, das stimmt so nicht.

Für n=1 ist es trivial und für n=2 ist es auch einfach, für
n=3 müsste es immer noch allgemein lösbar sein, sogar für n=4
vermute ich sollte es nicht allzu schwer sein. Dann gehen
meine Probleme an und auch die ersten relevanten Anwednungen,
…

Das erinnert mich an die „normalen“ Polynome. Im ersten Grad sind die Nullstellen auch trivial, im zweiten per p-q-Formel einfach, danach kennt man vielleicht noch die cardanischen Formeln, aber für höhere Grade gibt es keine explizite Lösung mehr.

Wie willst du hier eigentlich bei n = 3 vorgehen?

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

Ja, ich wollte nur anmerken, dass ich das bereits bewiesen
habe …

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein Eindeutigkeitsbeweis, oder?

mfg,
Ché Netzer

[regreb]

Hallo Hendrik,

Du kannst dieses Gleichungssystem schreiben als

( 1 … 1 )(a₁) (b₁)
( a₁ … a_n )(. ) (. )
( . . )(. ) (. )
( . . )(. )=(. )
( . . )(. ) (. )
( a₁^n-1 … a_n^n-1 )(a_n) (b_n)

Danke!
Ja das sehe ich auch so, leider haben wir dann eine Matrix-Gleichung mit „zwei unbekannten“ ala XY=B.
Was ich mich frage ist, obs nicht noch eine andere Möglichkeit gibt, wo man beispielsweise einen Vektor mit „lauter einser“ auf der linken Seite hat und eine irgendwie modifizierte VDM-Matrix. Oder obs einen anderen Weg gibt die Gleichung in f(B)=VDM umzuformen.

viele grüße
r

[regreb]

wäre auch schon der Name des mathematischen Teilgebiets das am
ehesten dafür in Frage kommt hilreich.

Das dürfte meiner Meinung nach die Algebra sein.

Ja, das war mir auch klar

Wieso fragst du dann noch?

Naja es gibt ja heutzutage Teilgebiete und Teilegbiete von Teilgebieten etc, von der Anwendung her die ich im Kopf habe, könnte zB auch Statistik oder ein Teilgebiet der Statistik in Frage kommen.

Oder die
Numerik. Jedenfalls glaube ich, dass sich das nicht explizit
nach a_i auflösen lässt; das müsste man numerisch berechnen.

Ich glaub, das stimmt so nicht.

Für n=1 ist es trivial und für n=2 ist es auch einfach, für
n=3 müsste es immer noch allgemein lösbar sein, sogar für n=4
vermute ich sollte es nicht allzu schwer sein. Dann gehen
meine Probleme an und auch die ersten relevanten Anwednungen,
…

Das erinnert mich an die „normalen“ Polynome. Im ersten Grad
sind die Nullstellen auch trivial, im zweiten per p-q-Formel
einfach, danach kennt man vielleicht noch die cardanischen
Formeln, aber für höhere Grade gibt es keine explizite Lösung
mehr.

Wie willst du hier eigentlich bei n = 3 vorgehen?

mit mathematica, gehts.

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

Ja, ich wollte nur anmerken, dass ich das bereits bewiesen
habe …

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein
Eindeutigkeitsbeweis, oder?

Das ist die Beweisidee zusammen mit der Anzahl der möglichen Lösungen
müsste man damit den Beweis hinbekommen - oder hab ich da was übersehen?

[Che_Netzer]

Wie willst du hier eigentlich bei n = 3 vorgehen?

mit mathematica, gehts.

Ja, wenn ich solche Gleichungen bei Wolfram|Alpha eingebe, gibt es auch eine Lösung. Aber dort wird doch wohl auch numerisch gerechnet. Hat dir Mathematica eine Lösungsformel gegeben oder eine spezielle Lösung für konkrete Zahlenwerte der b_is?

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

Ja, ich wollte nur anmerken, dass ich das bereits bewiesen
habe …

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein
Eindeutigkeitsbeweis, oder?

Das ist die Beweisidee zusammen mit der Anzahl der möglichen
Lösungen
müsste man damit den Beweis hinbekommen - oder hab ich da was
übersehen?

Damit kannst du zeigen, dass eine Lösung auch in jeder Permutation eine Lösung ist. Für die (")Eindeutigkeit(") bräuchtest du aber eine Lösung a1,a2,…,an und eine zweite Lösung a1’,a2’,…,an’. Und dann müsstest du zeigen, dass die beide gleich sind.

mfg,
Ché Netzer

[Hendrik_70c5fb]

Ja das sehe ich auch so, leider haben wir dann eine
Matrix-Gleichung mit „zwei unbekannten“ ala XY=B.

Richtig, das ist ein Problem.

Was ich mich frage ist, obs nicht noch eine andere Möglichkeit
gibt, wo man beispielsweise einen Vektor mit „lauter einser“
auf der linken Seite hat und eine irgendwie modifizierte
VDM-Matrix.

Das geht natürlich. Dann hast du

\left(\begin{array}{cccc}a_1 & a_2 & \ldots & a_n\a_1^2 & a_2^2 & \ldots & a_n^2\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\a_1^n & a_2^n & \ldots & a_n^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\1\\vdots\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\b_2\\vdots\b_n\end{array}\right)

Die Determinante einer solchen Matrix ist ein sogenanntes Schur-Polynom.
Dazu hilfreich ist vielleicht auch dieser Artikel.
http://en.wikipedia.org/wiki/Alternant_matrix

Gruß

hendrik

[Lutz_Lehmann]

Hi,

such mal in der Wikipedia (oder sonstwo, Bücher zu Grundlagen der Computeralgebra, vander Warden, Bini-Pan) nach dem Begriff „Newton-Identitäten“.

Diese erlauben, die Koeffizienten eines Polynoms in die Potenzsummen der Nullstellen umzurechnen und umgekehrt. Hier wäre umgekehrt angesagt, Du erhältst ein Polynom vom Grad n, dessen Nullstelle Du numerisch bestimmen kannst. Die vollständige Nullstellenmenge in jeder Permutation ist dann eine Lösung.

Gruß Lutz

[Lutz_Lehmann]

Stichworte sind symmetrische und elementarsymmetrische Polynome

http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Identit%C3%A4ten

ist etwas unorganisiert, die Herleitung sollte nach der Darstellung der Identitäten kommen.

\begin{align}
p(x)&=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_1x+c_0\
&=x^n-u_1x^{n-1}+u_2x^{n-2}+\dots+(1-)^nu_0
\intertext{mit}
u_1&=b_1\
2u_2&=b_1u_1-b_2\
3u_3&=b_1u_2-b_2u_1+b_3\
&\vdots\notag
\intertext{oder}

• c_{n-1}&=b_1\
  -2c_{n-2}&=b_1c_{n-1}+b_2\
  -3c_{n-3}&=b_1c_{n-2}+b_2c_{n-1}+b_3\
  &\vdots\notag
  \end{align}

Lutz

[regreb]

Wie willst du hier eigentlich bei n = 3 vorgehen?

mit mathematica, gehts.

Ja, wenn ich solche Gleichungen bei Wolfram|Alpha eingebe,
gibt es auch eine Lösung. Aber dort wird doch wohl auch
numerisch gerechnet. Hat dir Mathematica eine Lösungsformel
gegeben oder eine spezielle Lösung für konkrete Zahlenwerte
der b_is?

Wenn ich mich recht erinnere hab ich b0=0 gesetzt und b1=1 und b2=b
also als variable belassen. Und dafür eine (unübersichtliche) Lösung bekommen.

die Loesung ist Eindeutig bis auf alle n! Permuationen
der Indices

Das könnte man schon irgendwie zeigen…

Ja, ich wollte nur anmerken, dass ich das bereits bewiesen
habe …

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein
Eindeutigkeitsbeweis, oder?

Das ist die Beweisidee zusammen mit der Anzahl der möglichen
Lösungen
müsste man damit den Beweis hinbekommen - oder hab ich da was
übersehen?

Damit kannst du zeigen, dass eine Lösung auch in jeder
Permutation eine Lösung ist. Für die (")Eindeutigkeit(")
bräuchtest du aber eine Lösung a1,a2,…,an und eine zweite
Lösung a1’,a2’,…,an’. Und dann müsstest du zeigen, dass die
beide gleich sind.

Nehmen wir mal an, dass keine zwei ai gleich sind und dass es insgesammt nur n! verschiedene Lösungsvektoren {a1, …, an}1, … {a1’, … , an}n! gibt. Dann wärs klar.

Ich glaub einfach dass die „Dimension“ des Problems n! ist

Gruß
r

[regreb]

Die Determinante einer solchen Matrix ist ein sogenanntes
Schur-Polynom.
Dazu hilfreich ist vielleicht auch dieser Artikel.
http://en.wikipedia.org/wiki/Alternant_matrix

Gruß

hendrik

Vielen Dank schonmal, vllt. komm ich so weiter!
r

[Che_Netzer]

Ja, wenn ich solche Gleichungen bei Wolfram|Alpha eingebe,
gibt es auch eine Lösung. Aber dort wird doch wohl auch
numerisch gerechnet. Hat dir Mathematica eine Lösungsformel
gegeben oder eine spezielle Lösung für konkrete Zahlenwerte
der b_is?

Wenn ich mich recht erinnere hab ich b0=0 gesetzt und b1=1 und
b2=b
also als variable belassen. Und dafür eine (unübersichtliche)
Lösung bekommen.

Habe ich da irgendetwas missverstanden?
Ich dachte, die a_i wären gesucht und die b_i gegeben. Die könntest du doch dann nicht gleich 0 setzen.

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein
Eindeutigkeitsbeweis, oder?

Das ist die Beweisidee zusammen mit der Anzahl der möglichen
Lösungen
müsste man damit den Beweis hinbekommen - oder hab ich da was
übersehen?

Damit kannst du zeigen, dass eine Lösung auch in jeder
Permutation eine Lösung ist. Für die (")Eindeutigkeit(")
bräuchtest du aber eine Lösung a1,a2,…,an und eine zweite
Lösung a1’,a2’,…,an’. Und dann müsstest du zeigen, dass die
beide gleich sind.

Nehmen wir mal an, dass keine zwei ai gleich sind und dass es
insgesammt nur n! verschiedene Lösungsvektoren {a1, …, an}1,
… {a1’, … , an}n! gibt. Dann wärs klar.

Ich glaub einfach dass die „Dimension“ des Problems n! ist

Aber du kannst doch nicht einfach voraussetzen, dass es nur n! Lösungen gibt.

mfg,
Ché Netzer

[regreb]

Wenn ich mich recht erinnere hab ich b0=0 gesetzt und b1=1 und
b2=b
also als variable belassen. Und dafür eine (unübersichtliche)
Lösung bekommen.

Habe ich da irgendetwas missverstanden?
Ich dachte, die a_i wären gesucht und die b_i gegeben. Die
könntest du doch dann nicht gleich 0 setzen.

Die b0’s lassen sich als Mittelwerte (*n) interpretieren und die b1 als (Quadrat der) Standardabweichung. Dann ist b0=0 und b1=1 die bekannte Normierung der Zufallsvariablen.

man nehme an a_1, … ,a_n ist eine Lösung, dann ist automatisch
jede Permuation eine Löung, da das GS in allen indices
symmetrisch ist …

Das schon, aber das ist doch wohl nicht dein
Eindeutigkeitsbeweis, oder?

Das ist die Beweisidee zusammen mit der Anzahl der möglichen
Lösungen
müsste man damit den Beweis hinbekommen - oder hab ich da was
übersehen?

Damit kannst du zeigen, dass eine Lösung auch in jeder
Permutation eine Lösung ist. Für die (")Eindeutigkeit(")
bräuchtest du aber eine Lösung a1,a2,…,an und eine zweite
Lösung a1’,a2’,…,an’. Und dann müsstest du zeigen, dass die
beide gleich sind.

Nehmen wir mal an, dass keine zwei ai gleich sind und dass es
insgesammt nur n! verschiedene Lösungsvektoren {a1, …, an}1,
… {a1’, … , an}n! gibt. Dann wärs klar.

Ich glaub einfach dass die „Dimension“ des Problems n! ist

Aber du kannst doch nicht einfach voraussetzen, dass es nur n!
Lösungen gibt.

Nein, wenn man das wissen will sollte mans beweisen. Ich vermute nur, dass ein gangbarer Beweisweg ist.

r

[Lutz_Lehmann]

Hi,

wie zählst Du denn nun, ist die Summe der a’s b1 oder b0? D.h. ist das Beispiel für Dimension 2 oder Dimension 3?

Im letzteren Falle sind die a’s die Nullstellen des Polynoms

0=x^3-1/2*x-b/3,

probiere mal aus, ob da dieselben Lösungsterme herauskommen

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%5E3-1%2…

Gruß Lutz

[Lutz_Lehmann]

zum Vergleich,

das nicht umgeformte System wird von Wα wie folgt gelöst:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%2By%2Bz…

sieht also sehr ähnlich aus.

Gruß, Lutz

[regreb]

Lieber Lutz!

sorry hab Deine Posts gerade erst bemerkt.

Kann das sein, dass das die Lösung ist!! Das wäre suuuuper. Ich muss mir alles in Ruhe ansehen.

Vorab: Mir helfen nur analytische Lösungen weiter, bis zu welchen n wird das dann möglich sein?

Viele Grüße
R.B.

[Lutz_Lehmann]

Hi,

wie bei allen Polynomen, bis Grad 4. Und diese Ferrari-Formel sieht dann schon so häßlich aus und ist von unbekannter numerischer Stabilität, dass von ihrer Verwendung zur Bestimmung numerischer Resultate abgeraten wird.

Die Potenzsummen können bijektiv in Polynomkoeffizienten umgerechnet werden, daraus ergeben sich dann nach Galois und Abel dieselben Unmöglichkeitsresultate.

Gruß Lutz

[Lutz_Lehmann]

PS:

In vielen Zusammenhängen wird es als geschlossene Lösung erachtet, wenn diese durch die Nullstellen eines univariaten Polynoms parametrisiert ist. Und dieses Polynom lässt sich geschlossen in den b’s ausdrücken.

Lutz