Ich habe folgende Aufgabe gegeben, und mir auch schon eine Lösung überlegt!
Aufgabe:
Die Spur einer Matrix A=(a_ij)€M(n,n,K) ist definiert als
Spur(A)=Summe von i=1 bis n von a_ii.
Zeige für Matrizen A,B€M(n,n,K), dass gilt
Spur(A*B)=Spur(B*A).
Lösung:
Sei AB=:C=(c_ik). Dann ist nach Definition des Matrixproduktes
c_ik=Summe von j=1 bis n von (a_ij x b_jk),also
c_ii=Summe von j=1 bis n von (a_ij x b_ji),somit ist
Spur(AB)=Summe von i=1 bis n von Summe von j=1 bis n von(a_ij x b_ji).
Die Gegenrichtung verläuft im Prinzip genauso, es sei BA=:d=(d_ik), in den Summen wird halt immer a und b vertauscht.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das wohl richtig ist, da wir selbiges für Spur(A+B) bereits gezeigt haben. Aber auch da hatte schon ich nicht ganz verstanden, warum ich plötzlich das „dopppelte“ Summenzeichen habe. Kann mir das vielleicht jemand erklären?
ich hab’ nur grob drüber geschaut, sieht aber richtig aus.
Die Doppelsumme hast Du deshalb, weil Du einmal die (Produkte der) Elemente der Matrizen A und B über i summierst, um die Elemente c_ij zu erhalten, und dann nochmal die Elemente von C (diesmal über j, was bei einer nxn-Matrix das Gleiche wie i ist), um die Spur von C zu erhalten.
Klar?
Gruß
Katharina
Ich habe folgende Aufgabe gegeben, und mir auch schon eine
Lösung überlegt!
Aufgabe:
Die Spur einer Matrix A=(a_ij)?M(n,n,K) ist definiert als
Spur(A)=Summe von i=1 bis n von a_ii.
Zeige für Matrizen A,B?M(n,n,K), dass gilt
Spur(A*B)=Spur(B*A).
Lösung:
Sei AB=:C=(c_ik). Dann ist nach Definition des Matrixproduktes
c_ik=Summe von j=1 bis n von (a_ij x b_jk),also
c_ii=Summe von j=1 bis n von (a_ij x b_ji),somit ist
Spur(AB)=Summe von i=1 bis n von Summe von j=1 bis n von(a_ij
x b_ji).
Die Gegenrichtung verläuft im Prinzip genauso, es sei
BA=:d=(d_ik), in den Summen wird halt immer a und b
vertauscht.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das wohl richtig ist, da wir
selbiges für Spur(A+B) bereits gezeigt haben. Aber auch da
hatte schon ich nicht ganz verstanden, warum ich plötzlich das
„dopppelte“ Summenzeichen habe. Kann mir das vielleicht jemand
erklären?
Um also ein bestimmtes Diagonalelement zu erhalten, muss man eine Zeile aus der ersten Matrix (A) und eine Spalte aus der zweiten Matrix (B) nehmen, die jeweiligen Elemente multiplizieren und aufsummieren. Daher ein Summenzeichen. Summiert man dann noch über alle Diagonalelemente, kommt ein zweites hinzu.
Spur(AB)=Summe von i=1 bis n von Summe von j=1 bis n von(a_ij x b_ji).
Einverstanden.
Die Gegenrichtung verläuft im Prinzip genauso, es sei
BA=:d=(d_ik), in den Summen wird halt immer a und b
vertauscht.
Ja, aber Vorsicht: Die Matrix muss nicht symmetrisch sein,
d.h. a_ij x b_ji ist i.Allg. nicht gleich b_ij x a_ji.