Hallo,
ich habe eine Frage zur speziellen Relativitätstheorie.
Im 4 dimensionalen Minkowski Raum definiert man den kontravarianten und den kovarianten Vektor.
Einen beliebigen Vetor im M4 kann man dann „2fach“ darstellen. Einmal mit der „normalen“ Basis und einmal mit der „dualen“ Basis.
Warum führt man überhaupt diese 2 Basen ein.
Danke
Hi!
Im 4 dimensionalen Minkowski Raum definiert man den
kontravarianten und den kovarianten Vektor.
Einen beliebigen Vetor im M4 kann man dann „2fach“ darstellen.
Einmal mit der „normalen“ Basis und einmal mit der „dualen“
Basis.
Da hast du ein bißchen was falsch verstanden: Die „duale Basis“ bezieht sich
NICHT auf den gleichen Vektorraum, sondern eben auf den zu deinem Vektorraum V
dualen Vektorraum V*. V* ist der Raum der Linearformen, also der Vektorraum
aller linearen Abiildungen von V nach R. Mit deiner Metrik (Skalarprodukt)
kannst du zwischen den beiden Räumen übersetzen, denn nach einem Theorem aus
der Linearen Algebra findet man für JEDE Linearform f einen Vektor u, s.d. für
alle v aus V gilt:
f(v) =
Das ist das „Index - Hoch- und Runterziehen“ in der Koordinatenschreibweise. Im
Kalkül sind die kontravarianten Vektoren (Index oben) Vektoren aus V während
kovariante Vektoren (Index unten) bzw. Kovektoren Vektoren aus V* sind.
Der Witz der ganzen Angelegenheit liegt in den Eigenschaften des
Tensorproduktes verborgen. Die ganzen „Tensorrechenregeln“ in Koordinaten
drehen sich im Prinzip um das Konstruieren und Kontrahieren von Tensoren. Dabei
nutzt man im Endeffekt aus, dass für viele Tensorprodukträume kanonische
Isomorphismen derart gelten, dass Identfikation möglich sind wie ( „o“ sei hier
das Tensorprodukt)
V o V* ist kanonisch isomorph zu den Endomorphismen auf V („Matrizen“ als
lineare Abbildungen)
V* o V* ist kanonisch isomorph zu den Bilinearformen auf V(„Matrizen“ als
bilineare Abbildungen)
V** ist kanonisch isomorph zu V
usw.
Der Witz ist: Nur wenn ich auch noch den Dualraum V* zur Verfügung habe, kann
ich Tensorräume bauen, die Isomorphismen mit Endomorphismen und Bilinearformen
erlauben. Nur dadurch kann ich z.B. das (Tensor-)Produkt von einem Vektor v^{i}
mit einem Kovektor w_{j} mit einer Matrix identifizieren:
M^{i}{j} = v^{i} * w{j}
oder z.B. Tensoren kontrahieren um Skalare zu erhalten.
Das war jetzt alles eine mathematisch wenig präzise Erläuterung. Ich wollte dir
auch nur die Idee geben. Wenn man das alles wirklich verstehen und
nachvollziehen will, braucht man ein gehöriges Stück Lineare Algebra bzw.
Multilineare Algebra und muss kapiert haben, welche Identifikationen beim
Übergang zum Ricci-Kalkül gemacht wurden. Ich persönlich finde das man gerade
die Aussagen über das Transformationsverhalten von Tensorfeldern erst brauchbar
verstehen kann, wenn man sich mit der Theorie von Differenzierbaren
Mannigfaltigkeiten in der Differentialgeometrie befasst hat.