Stammfunktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,
ich weiß zwar, wie man gewöhnliche Funktionen aufleitet, aber ich habe hier ein kleines Problem, die gebrochene rationale Funktion aufzuleiten:

f(x)= 4/x^2+1

Viele Grüße,
Hallö_chen

#2

Hallöchen Hallö_chen,

ich weiß zwar, wie man gewöhnliche Funktionen aufleitet, aber
ich habe hier ein kleines Problem, die gebrochene rationale
Funktion aufzuleiten:

f(x)= 4/x^2+1

die kannst Du auch so schreiben:

f(x) = 4x-2 + 1

Und dann gelten die Regeln für Potenzfunktionen, also

F(x) = -4x-1 + x + c = -4/x + x + c

Übrigens, der Begriff „aufleiten“ ist ungewöhnlich, er wird aber wohl in einigen Schulen verwendet.

Gruß
Olaf

#3

hallo;

ich weiß nicht, warum jeder das Integrieren „aufleiten“ nennt :confused:

Wie dem auch sei, für „normale“ gebrochenrationale Funktionen (außer x-1) gilt die nette Formel:

f(x)=mxnF(x)=\frac{m}{n+1}x^{n+1}

bei m=4 und n=-2 also -4x-1, +1 solltest du alleine „aufleiten“ können.

mfG

#4

2 Möglichkeiten
Hallo Hallö_chen,

wie sieht deine Funktion aus:

  1. f(x) = \frac{4}{x^{2}+1}

  2. f(x) = \frac{4}{x^{2}} +1

Für die zweite Möglichkeit hast du schon 2 Antworten bekommen, wobei ich jedoch denke, dass bei dir der erste Fall vorliegt. Für die erste Möglichkeit muss der Begriff Arkustangens geläufig sein sowie dessen Ableitung:

aus [http://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkusk…]:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))

Und somit siehst du schon unseren Nutzen davon, da jetzt leicht ersichtlich ist:

\int \frac{4}{x^{2}+1} dx= 4 \cdot \arctan(x) + c

Schönen Abend noch
Gruß René