Stammfunktion begründen

Wissenschaft Mathematik
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Hi Matheprofis,

ich lerne auch gerade für eine Klausur und habe alles bis jetzt alles mit viel Probieren, wie man auf die Ergebnisse kommt auch verstanden und hinbekommen. Nur hierbei habe ich ein Probelm.

Zeigen Sie, dass die Funktion F(x)=(-2-2x)*e^-x eine Stammfnktion von f(x)=2x*e^-x ist.

Also die Stammfunktion ist richtig, nur wie kommen die dadrauf?

Ich habe überlegt, ob man zwei Teile drauß machen kann. Dann würde man einmal 2x aufleiten das wäre 2/3x^3 und für e^-x die Aufleitung ist -e^-x (die liniare substitution angewendet). aber das stimmt ja leider nicht. gibt es so wie beim ableitung von produkten eine bestimme regel in der art wie die Produktregel?

Es würde mir sehr weiter helfen, wenn mir jemand erklären könnte, wie man auf die Stammfunktion kommt.

LG

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Hallo!

Zeigen Sie, dass die Funktion F(x)=(-2-2x)*e^-x eine
Stammfnktion von f(x)=2x*e^-x ist.

Also die Stammfunktion ist richtig, nur wie kommen die
dadrauf?

Ich habe überlegt, ob man zwei Teile drauß machen kann. Dann
würde man einmal 2x aufleiten das wäre 2/3x^3 und für e^-x die
Aufleitung ist -e^-x (die liniare substitution angewendet).
aber das stimmt ja leider nicht. gibt es so wie beim ableitung
von produkten eine bestimme regel in der art wie die
Produktregel?

Das ist beim Integrieren viel komplizierter als beim Ableiten und nennt sich partielle Integration.

Aber die Lösung Deiner Aufgabe ist viel einfacher: Wenn F die Stammfunktion von f ist, dann ist f die Ableitung von F. Das kriegst Du hin, denke ich…

Michael

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Das ist beim Integrieren viel komplizierter als beim Ableiten
und nennt sich partielle Integration.

Ok, dass sagt mir so gar nichts und steht auch nichts im Buch, also hatten wir das noch nicht.

Aber die Lösung Deiner Aufgabe ist viel einfacher: Wenn F die
Stammfunktion von f ist, dann ist f die Ableitung von F. Das
kriegst Du hin, denke ich…

Ok, ja das bekomme ich hin, da habe ich viel zu kompliziert gedacht.

Danke Michael

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Hallo,

Zeigen Sie, dass die Funktion F(x)=(-2-2x)*e^-x eine
Stammfnktion von f(x)=2x*e^-x ist.

Also die Stammfunktion ist richtig, nur wie kommen die dadrauf?

über die Produktregel der Differentiation (f g)’ = f’ g + f g’, aus der sich folgender Satz ableiten lässt:

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Gegeben seien irgendwelche zwei Funktionen f und g. Wenn man (aus welchem Grund auch immer) weiß, dass H eine Stammfunktion von f g’ ist, dann kennt man automatisch auch eine Stammfunktion von f’ g, denn f g – H ist eine solche.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Beweis: (f g – H)’ = (f g)’ – H’ = f’ g + f g’ – H’ = f’ g + f g’ – f g’ = f’ g

Die ersten beiden Gleichheitszeichen sind klar (Summen-/Produktregel); zum dritten sind wir berechtigt, weil H’ = f g’ vorausgesetzt wurde („H ist Stammfunktion von f g’“); das vierte ist evident.

Der obige Satz ist äquivalent zur sogenannten partiellen Integration; man könnte ihn als „integralfreie Formulierung der partiellen Integration“ bezeichnen.

Sind die Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt (was „nicht oft“ der Fall ist, aber manchmal eben doch), dann kann man ihn zur Stammfunktionenbestimmung nutzen.

Dein Problem: Stammfunktion von 2 x e–x?

Lösung: Setzen wir f’(x) = e–x und g(x) = 2 x, dann geht die Sache klar, weil wir weder mit f noch mit H eine Schwierigkeit haben. Zunächst die g-Ableitung: g’(x) = 2. Als nächstes die Stammfunktion von f’; das ist f(x) = –e–x. Also ist f g’ gleich –2 e–x, und auch davon können wir ohne Mühe eine Stammfunktion H angeben: H(x) = 2 e–x. Das allerdings ist ein echter Grund zur Freude, denn jetzt brauchen wir nur noch f g – H zu bilden:

f(x) g(x) – H(x) = –e–x 2 x – 2 e–x = –2 (x + 1) e–x

ist eine Stammfunktion von 2 x e–x. Fertig.

(Zusatz: Vertausch mal spaßeshalber im Ansatz f’ und g, also f’(x) = 2 x und g(x) = e–x, und versuch, die Schritte damit zu wiederholen. Du wirst feststellen, dass es so nicht geht! Grund: f g’ wird dann –x2 e–x und damit ist nichts gewonnen, weil wir dazu die benötigte Stammfunktion H nicht angeben können.)

Gruß und schönes WE
Martin