Stammfunktion einer e-Funktion

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

bei mir ist es mit Abi etc.schon ziemlich lange her und
ich komme mit der folgenden Rechnung gar nicht mehr klar:

g(x)= 4-3e^(-2x)

Das Schaubild der Funktion g, die Gerade mit der Gleichung x=3 und di Gerade mit der Gleichung y=4 sowie die y-Achse schließen eine Fläche ein. Deren Flächeninhalt soll berechnet werden.

dann soll sich als Ergebnis Folgendes ergeben:

A= Integral von 0 bis 3 (4-(4-3e^(-2x)))dx =1,496

wie kommt man denn nun auf diese Stammfunktion?
Woher kommt die 4 zu Beginn der Funktion?

LG

#2

g(x)= 4-3e^(-2x)

Also eine Funktion auf GK Niveau, also werde ich auf Substitution und partielle Integration gar nicht erst eingehen.

Nach Kettenregel wäre die Ableitung
g’(x)=0-3e^(-2x)*(-2)

Beim Ableiten ist also vorne eine stinkige einfach Zahl ist als ganzrationaler teil weggefallen und es wurde der e-teil mit einer Konstanten Zahl multipliziert. Also machen wir beim integrieren das Gegenteil:
G(x)=4x - 3e^(-2x)/(-2)
G(x)=4x + 1,5e^(-2x)

Das Schaubild der Funktion g, die Gerade mit der Gleichung x=3
und di Gerade mit der Gleichung y=4 sowie die y-Achse
schließen eine Fläche ein. Deren Flächeninhalt soll berechnet
werden.

Wenn Du das Bild mal zeichnest erkennst Du, dass Du die Fläche zwischen zwei Kurven errechnen sollst. Also:
Integral von a bis b über f(x)-g(x) dx
also einsetzen von f(x)=4 und g(x)

A= Integral von 0 bis 3 (4-(4-3e^(-2x)))dx

Dann Integrieren
[F(x)-G(x)]von a bis b
und einsetzen denk dran Obersummer minus Untersumme
(F(3)-G(3))-(F(0)-G(0))
Taschenrechner eintippen und fertig.
Wenn Du es genauer haben willst versuch es auszurechnen und poste Dein Ergebnis. Wenn Probleme auftreten können wir konkret helfen.

Ich hoffe das hilft schon mal weiter.

#3

Also:
Integral von a bis b über f(x)-g(x) dx

also einsetzen von f(x)=4 und g(x)  f(x)=4 ist in der Aufgabenstellung durch die Gerade mit der Gleichung y=4 angegeben.

A= Integral von 0 bis 3 (4-(4-3e^(-2x)))dx

Dann Integrieren
[F(x)-G(x)]von a bis b

4x - (4x + 1,5e^(-2x))
4*3-(4*3+1,5e^(-6)) = 0,0037
4*0-(4*0+1,5e^(0)) = 1,5

 A= 0,0037 – 1,5 = 1,4963

Super, Vielen Dank!

#4

Ach übrigens, wenn negative Werte herauskommen kann das 2 Gründe haben:

  1. Es ist gewollt und negative Werte werden zB als Verluste oder als rückwärts fahren interpretiert.
  2. Es ist nicht gewollt. Dann Betragsstriche um die ganze Sache.
#5

g(x)= 4-3e^(-2x)

A= Integral von 0 bis 3 (4-(4-3e^(-2x)))dx =1,496

Netten NM

also … ich komme zum Ergebnis von 10,5037…

lg Pepperl