Hallo,
wie bilde ich die Stammfunktion von SQRT(1+x^2) ?
Und wenn wir schon dabei sind: aus x^2*SQRT(1+x^2)
Danke.
Ajo
Hallo,
wie bilde ich die Stammfunktion von SQRT(1+x^2) ?
In Tabelle nachschauen…
= x/2*sqrt(1+x^2)+1/2*ln(x+sqrt(1+x^2))+C
Und wenn wir schon dabei sind: aus x^2*SQRT(1+x^2)
Dito…
= x/4*sqrt((1+x^2)^3)-1/8*(xsqrt(1+x^2)+ln|x+sqrt(1+x^2)|)+C
Danke.
Bitte
Kubi
ich suche aber den Lösungsweg
Hallo,
wie bilde ich die Stammfunktion von SQRT(1+x^2) ?
In Tabelle nachschauen…
= x/2*sqrt(1+x^2)+1/2*ln(x+sqrt(1+x^2))+C
Und wenn wir schon dabei sind: aus x^2*SQRT(1+x^2)
Dito…
= x/4*sqrt((1+x^2)^3)-1/8*(xsqrt(1+x^2)+ln|x+sqrt(1+x^2)|)+C
Danke.
wenn nämlich so was in der Klausur drankommt (wo wir keine Tabellen benutzen dürfen), hilft mir das nicht weiter. Wie kommt man darauf???
Ajo
na dann von hinten
hallo,
na dann leite doch die loesungen ab, also pferd (mit p 
, von hinten aufzaeumen und dann hast den loesungsweg halt zeitverkehrt
beste gruesse, lego
Hallo,
Der Trick, der bei Integralen mit (1+x^2) meistens weiterhilft, ist die Subst. x=tan y. Dann bekommst Du
(1+tan^2 y) = (cos^2 y + sin^2 y)/cos^2 y = 1/cos^2 y und
dx = dy/cos^2 y.
Im 1. Fall kommst Du also von SQRT(1+x^2) auf ein Integral über 1/cos^3 y dy,
was noch „vergleichsweise“ einfach ist. Eventuell kann man das partiell integrieren, vielleicht mit Hilfe der Ersetzung cos^3 = cos(1-sin^2). Was mich betrifft, wuerde ich allerdings spaetestens jetzt zur Formelsammlung greifen.
Viel Glück bei der Klausur, Stefanie
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
int von sqrt(x^2+1)
das ist ein wenig tricky (ich hab jetzt selber 30 Minuten gerechnet)
es bezeichne F(x) die Stammfunktion und int das uneigentliche integral, also:
du substituirst als erstes x mit sinh(t)
also
x = sinh(t)
dx = cosh(t) * dt
setzen wir ein
int sqrt(sinh^2(t) + 1)) * cosh(t) * dt
int sqrt(cosh^2(t)) * cosh(t) * dt
int cosh^2(t) * dt
jetzt wirds interessant:
int cosh^2(t) = sinh(t) * cosh(t) - int(sinh^2(t))
(partielle Integration: cosh^2(t) = cosh(t) * cosh(t))
jetzt addieren wir links und rechts int cosh^2(t) hinzu, wir bekommen also:
2 * int cosh^2(t) = sinh(t) * cosh(t) - int(sinh^2(t) + int(cosh^2(t))
da aber int(sinh^2(t)) + int(cosh^2(t)) nichts anderes ist als
int(sinh^2(t) + cosh^2(t)) und -sinh^2(t) + cosh^2(t) bekanntlich gleich eins ist folgt nun folgendes:
int cosh^2(t) = 0.5 * (sinh(t) * cosh(t) + t)
F(x) = int sqrt(x^2 + 1) = 0.5 * (x * sqrt(1+x^2) + arcsinh(x))
(einfach rückeinsetzen: x = sinh(t), sqrt(1+x^2) = cosh(t), und t = arcsinh(x))
gruss
berni
Anmerkung
F(x) = int sqrt(x^2 + 1) = 0.5 * (x * sqrt(1+x^2) +
arcsinh(x))
arsinh(x) = ln(x + sqrt(x^2-1))
somit liefert mein Verfahren, das gleiche Resultat wie die Fosa
(sog. Areafunktionen)
danke - aber SO kompliziert kann das doch nicht sein. Das muss doch einfacher gehen. Jedenfalls hat unser Prof. das in der Vorlesung hingeschrieben. Ich war da zwar nicht da, aber ich glaube nicht, dass er da ewig gerechnet hat.
Na egal - kommt schon nicht dran in der Klausur 
Ajo
naja stimmen wird es schon, jedenfalls bekommst du das gleiche wie in der fosa
danke - aber SO kompliziert kann das doch nicht sein. Das muss
doch einfacher gehen.
ich befürchte nicht
Jedenfalls hat unser Prof. das in der
Vorlesung hingeschrieben. Ich war da zwar nicht da, aber ich
glaube nicht, dass er da ewig gerechnet hat.
keine sorge, der hats nur abgeschrieben
Na egal - kommt schon nicht dran in der Klausur
Ajo
hoffen wirs und viel Glück!
gruss
berni