jetzt integriert: 0,25x² +3x+ 3,5ln(2x-4) (wäre jetzt mein Vorschlag)
wenn ich aber die 1 als Intervallgrenze einsetze, wird das ja im Logarithmus negativ und das geht ja nicht.
Wo ist mein Fehler?
soweit alles richtig, bis auf einen kleinen Schönheitsfehler:
Wenn du den letzten Summanden integrierst, kommst du auf 7/2*1/(x-2), das integriert ergibt also 7/2*ln|x-2| (also nicht 2x-4, da hast du ja schon die 2 rausgekürzt um die Integrationsregel anwenden zu können).
Des weiteren sieht diese Integrationsregel vor, den Logarithmus des Betrags der Nennerfunktion zu verwenden, womit der Logarithmus, außer natürlich für x=2, definiert ist.
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, muss ich das, was im Logarithmus steht in Betragsstriche setzen.
und richtig x ist an der Stelle 2 nicht definiert.
also ich kenne das so:
ich setze den Nenner einfach in den Logarithmus aber dessen Ableitung muss im Zähler auftauchen. Jetzt taucht aber die Ableitung 3,5 mal so oft auf, deshalb hab ich die vor den Logarithmus geschrieben. Das mit dem rauskürzen versteh ich jetzt nicht ganz.
ich setze den Nenner einfach in den Logarithmus aber dessen
Ableitung muss im Zähler auftauchen. Jetzt taucht aber die
Ableitung 3,5 mal so oft auf, deshalb hab ich die vor den
Logarithmus geschrieben.
ja, das kannst Du so machen. Du kommst damit auf 7/2 ln(2 x – 4) und das ist eine Stammfunktion von 7/(2 x – 4).
Du kannst aber genausogut auch nach der Stammfunktion von 7/2 · 1/(x – 2) fragen, denn das ist ja dasselbe wie 7/(2 x – 4). Ich habe hier einfach 2 aus dem Nenner ausgeklammert. Die Stammfunktion von 7/2 · 1/(x – 2) ist natürlich 7/2 ln(x – 2).
Hoppla!? Einmal kommt als Stammfunktion 7/2 ln(2 x – 4) heraus und einmal 7/2 ln(x – 2)? Wie passt denn das zusammen? Nun, es sind zwar tatsächlich unterschiedliche Funktionen, aber trotzdem sind beide Stammfunktionen von 7/(2 x – 4), denn sie unterscheiden sich nur um eine additive Konstante, nämlich… wieviel?
Gruß
Martin
PS: Und natürlich ist auch 7/2 ln(2222 x – 4444) eine Stammfunktion von 7/(2 x – 4). Alles klar?
jau, das musst du
das wohl beliebteste Beispiel ist die Funktion 1/x: Wenn hier als Stammfunktion ln(x) gewählt wird, wäre sie, wie du schon erkannt hast, für x\int \frac{7}{2x-4} dx=7\int \frac{1}{2x-4}
Da 1 aber keineswegs die Ableitung von 2x-4 ist, müssen wir noch mal 1/2 ausklammern:
=7\int \frac{1}{2(x-2)}=\frac{7}{2}\int \frac{1}{x-2}=\frac{7}{2}\ln{|x-2|}+c
dass das Endergebnis gleich ist, liegt daran, dass die Stammfkt. nur bis auf eine Konstante bestimmt ist. Wenn Du jetzt die Fläche berechnest hebt sich die Konstante eben weg.
es kommt ja trotzdem dasselbe raus (also vom Flächeninhalt) egal ob ich
3,5ln(2x-4) habe
oder
3,5ln(x-2) nehme.
So ist es. F(x) hat für verschiedene Stammfunktionen ("+ C") zwar verschiedene Funktionswerte, aber F(b) – F(a) hat für alle Stammfunktionen immer denselben Wert, nämlich gerade das Integral ∫a…b f(x) dx. Egal mit was für einer Konstante C eine Stammfunktion beaufschlagt ist, sie subtrahiert sich bei der Differenzbildung F(b) – F(a) weg. Deshalb darf man zur Berechnung eines Integrals jede Stammfunktion nehmen.
ln(2 x – 4) = ln(2) + ln(x – 2)
Die Konstante C ist hier also ln(2).
(Hm ja, also ich hab da in meinem Artikel schändlicherweise die Betragsstriche unterschlagen. Die gehören da natürlich hin! Also bitte einfach dazudenken. Nachdem ausführlich erklärt wurde, dass die Stammfunktion von 1/x nicht ln(…) sondern ln(|…|) ist, ist es natürlich kein guter Stil, sie wegzulassen Sorry dafür.)
2x-4)= 0,5x +3 + 7/(2x-4) (das stimmt ja)
