Stammfunktion nicht möglich ?

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

Bin zufällig letztens über folgende Funktion gestoßen: e^(x^2)
Nun wollte ich probieren die Stammfunktion zu bilden und kam auf (1/2x)*e^(x^2), was aber nicht stimmen kann, weil wenn man die Ableitung bildet nicht auf e^(x^2) zurückkommt.
Nun hab ich an meine damalige Lehrerin gedacht, die gesagt hat: „Wenn etwas nicht lineares im Exponenten steht, dann kann man davon nicht so leicht die Stammfunktion bilden“.
Nach weitern Suchen bin auf folgendes Quelle gestoßen:
http://www.math.unibas.ch/~annette/vorlesung09_files…

Ich zitiere aus dem Artikel:
„Alle elementaren Funktionen sind zwar integrierbar, weil sie stetig sind,aber nicht alle haben elementare Stammfunktionen“. Meine oben genannte Funktion ist nicht elementar, heißt das, dass man davon keine Stammfunktion bilden kann?, weil ganz unten auf dieser Seite haben die es ja irgendwie gemacht(nicht mit meiner Funktion aber so einer ähnlichen), was ich nicht nachvollziehen kann :wink:
Dann ist mir noch der Begriff de Gauß’schen Glockenkurve eingefallen und auf der Seite von Wiki wird dann von einem Fehlerintegral gesprochen.
Was soll das sein?

lg seagal

#2

Hallo,

e^{x^2} hat keine Stammfunktion in geschlossener Form. D.h. man kann davon keine Stammfunktion hinschreiben.

Meine oben genannte Funktion ist nicht elementar, heißt das,
dass man davon keine Stammfunktion bilden kann?

Nicht direkt. Es gibt auch nicht-lineare Funktionen, deren Stammfunktion in geschlossener Form existiert. Ein Beispiel fällt mir jetzt gerade nicht ein…

weil ganz unten auf dieser Seite haben die es ja irgendwie gemacht(nicht
mit meiner Funktion aber so einer ähnlichen), was ich nicht nachvollziehen kann :wink:

Lies mal was drum herum steht :wink: Dann hättest du die Antwort auf deine Frage schon gesehen:

… weil der Integrand keine elementare Stammfunktion hat

Der Beweis danach besagt eigentlich nur, dass man für die Berechnung des Integrals über’s Zweidimensionale geht (weil es eben nicht direkt geht). Dann macht man eine Koodrinaten-Transformation und dann hat der Integrand eine Stammfunkion.
Wenn du das nachvollziehen willst, dann guck dir mal den Satz von Fubini und die Koordinaten-Transformation im Zusammenhang damit an.

Grüße
Jops

#3

Hallo,

Danke für die Antwort.

Also ich hab mir das jetzt nochmal angeguckt.
Die ersetzen irgendwann x^2+y^2 mit r^2 gut ok verständlich aber dann verändern sich die Intervallgrenzen grundlegend. Bei der Koordinaten-Transformation tauchen ja dann Winkel und der Abstand r auf. Plötzlich steht dann 0 statt unendlich und 2pi werden dann einfach vorgezogen.

Könnetst du mir das vllt. noch mal kurz erklären?

lg seagal

#4

Hallo!

Bei der Substitution werden einfach kartesische Koordinaten (d.h. x-Wert und y-Wert) in Polarkoordinaten umgerechnet. Dabei steht r für den Abstand zum Ursprung und φ für den Winkel zur x-Achse.

Wenn x und y den ganzen Raum überdecken sollen, müssen die x-Werte von -Unendlich bis +Unendlich gehen, ebenso die y-Werte. Wenn aber r und φ den ganzen Raum überdecken sollen, muss ich alle Winkel zulassen (d.h. φ läuft von 0 bis 2π, dann ist’s wieder bei der x-Achse angekommen) und alle Abstände (d.h. r geht von 0 – das ist der Ursprung selbst – bis hinaus ins Unendliche). So kommen die neuen Integrationsgrenzen zustande.

Die Integrationsvariablen dx und dy musst Du natürlich auch substituieren. Dabei helfen Dir Winkelbeziehungen am Dreieck: x=r*cos(φ), y=r*sin(φ). Nun berechnest Du

dx = \frac{\partial x}{\partial r}dr+\frac{\partial x}{\partial \phi}d\phi = \cos(\phi)dr-r\sin(\phi)d\phi

sowie

dy = \sin(\phi)dr+r\cos(\phi)d\phi.

Für die „Multiplikation“ solcher Streckenelemente dr, dφ gelten besondere Rechenregeln (das mathematische Teilgebiet, das sich mit so was befasst, ist die Vektoranalysis), so ist drdr=0, dφdφ=0 und drdφ=-dφdr, und wenn Du nun dxdy ausrechnest und alles ausmultiplizierst, kommst Du auf dxdy=rdrdφ. Da kommt das zusätzliche r im Integral her.

Liebe Grüße
Immo

P.S. Vektoranalysis lernt man im Mathestudium normalerweise im 3. Semester, aber wenn Dich das schon vorher interessiert – es gibt auch gute Bücher darüber.

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#5

Hallo,

Danke für die Antwort. Ich glaube ich hab es verstanden.

Kriegst dafür auch ein Sternchen! :smile:

lg seagal

P.S. ich studier kein Mathe, es hat mich nur mal interessiert wie man solche Aufgaben löst :wink: