Stammfunktion von 1/(1+e^x)

Wissenschaft Physik
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Da ich bald Abi schreibe, hab ich paar Aufgaben versucht, die mein Bruder in der 12 macht.

Dabei ist eine funktion f(x)=1/(1+e^x), wovon ich eine Stammfunktion finden soll.

Ich hab schon fast alles versucht zu substituieren, aber ich komme auf keinen Rechenweg.
Vielleicht koennte mir jemand einen Denkstupser geben?

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Hallo erst einmal.

Dabei ist eine funktion f(x)=1/(1+e^x), wovon ich eine
Stammfunktion finden soll.

Ich hab schon fast alles versucht zu substituieren, aber ich
komme auf keinen Rechenweg.
Vielleicht koennte mir jemand einen Denkstupser geben?

Substituiere u = exp(x). Dann bekommst Du das Integral ueber 1/(u*(1+u)). Nun kommt der Trick: Verwende die sogenannte Partialbruchzerlegung, also
in unserem Fall

1/(u*(1+u)) = 1/u - 1/(1+u).

Die beiden resultierenden Integrale kannst Du leicht ausrechnen. Im Ergebnis sollte die Stammfunktion

F(x) = -ln(1+exp(-x))

herauskommen.

Gruss,
Klaus

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hi,

Substituiere u = exp(x). Dann bekommst Du das Integral ueber
1/(u*(1+u)). Nun kommt der Trick: Verwende die sogenannte
Partialbruchzerlegung, also in unserem Fall

1/(u*(1+u)) = 1/u - 1/(1+u).

Die beiden resultierenden Integrale kannst Du leicht
ausrechnen. Im Ergebnis sollte die Stammfunktion

F(x) = -ln(1+exp(-x))

alles richtig, bis auf dieses F.

herauskommen.

ich bekomme:
F(x) = x - ln(1+exp(x))

m.

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Hallo Michael!

F(x) = -ln(1+exp(-x))

alles richtig, bis auf dieses F.
ich bekomme:
F(x) = x - ln(1+exp(x))

Wenn man genau hinsieht, sind beide Funktionen identisch, da

x - ln(1+exp(x))
= ln(exp(x)) - ln(1+exp(x))
= ln( exp(x) / (1+exp(x)) )
= ln( 1/(1+exp(-x)) )
-ln(1+exp(-x)).

Also ist alles in Ordnung.

Gruss,
Klaus

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hallo klaus,

Wenn man genau hinsieht, sind beide Funktionen identisch, da

x - ln(1+exp(x))
= ln(exp(x)) - ln(1+exp(x))
= ln( exp(x) / (1+exp(x)) )
= ln( 1/(1+exp(-x)) )
-ln(1+exp(-x)).

Also ist alles in Ordnung.

du hast recht.
sorry.
m.

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