Hallo,
ich versuch’s mal…
Die Standardabweichung S ist die Wurzel aus der Varianz (V).
Die Varianz soll sein: Die mittlere quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert (M).
Im folgenden werde ich kurz „X“ (statt Xi) für eine Menge an Einzelwerten schreiben. N kennzeichnet die Anzahl von Werten.
Dein Problem liegt wahrscheinlich darin, dass Du nun außer Acht lässt, dass Du zum einen eine (vollständig gegebene) Menge Werte betrachten kannst, als auch eine Stichprobe , anhand der Du Größen wie M, S, oder V einer größeren, unbekannten Population von Werten schätzen willst.
Zunächst: Wenn Dir ALLE Werte vorliegen, dann IST das die Population. Dann muss man nichts schätzen, sondern rechnet alles direkt aus. Der Mittelwert ist schlicht
M = Mittelwert(X) = Summe(X)/N
und die Varianz ist
V = Mittelwert(X-M) = Summe(X-M)/N.
So, jetzt hast Du eine STICHPROBE von n Werten aus einer unendlich großen POPULATION (N=oo) gegeben. Anhand der n x-Werte willst Du die Varianz der (unbekannten, unendlich großen) Population von X-Werten schätzen. Dazu brauchst Du schonmal den Mittelwert der Population, M. Den kennst Du aber nicht. Also schätzt Du ihn aus der Stichprobe. Als besten Schätzwert nimmst Du
m = Summe(x)/n
Beachte: m ist NICHT gleich M. m sollte mehr oder weniger „nahe“ bei M liegen, und zwar umso näher, je größer die Stichprobe ist. Wenn man VIELE solche Stichproben betrachtet, wird man immer andere x-Werte bekommen und immer andere werte für m. Diese Werte von m werden aber um M herum streuen, und der Mittelwert von unendlich vielen m-Werten wird genau auf M fallen. Das meint man, wenn man sagt: „m ist ein erwartungstreuer Schätzer von M“.
Ok, wir haben m als Schätzer für M, wir wollen einen Schätzer für V. Naivereweise könnten wir sagen:
v = Summe((x-m)²)/n
wobei wir schon M durch m ersetzt haben!
Wenn wir die Varianzen vieler solcher Stichproben berechnen, erwarten wir von einem erwartungstreuen Schätzer der (Populations-)Varianz, dass er im Mittel eben wieder V ergibt. Tatsächlich tut er das aber nicht! Die Schätzwerte v sind systematisch kleiner als V.
Warum?
EIGENTLICH müssten wir Summe(x-M)/n rechnen, um einen unverzerrten, erwartungstreuen Schätzer zu bekommen. Mit m statt M klappt das aber nicht, weil m notgedrungen IMMER in der MITTE der x-Werte liegt, ganz egal, welche x-Werte zufällig aus der Population in die Stichprobe kommen. Es kommt zB. durchaus oft vor, dass bei n=3 ALLE 3 x-Werte kleiner sind als M. (genausooft kommt es natürlich vor, dass alle 3 x-Werte größer sind als M). Das aus diesen drei Werten berechnete m (als Schätzwert für M) liegt damit (im vergleich zu M) zu oft zu nahe bei den x-Werten. Mithin sind die Differenzen (x-m) zu oft zu klein, und erst recht die Quadrate davon, und somit auch die Summe der Quadrate.
Damit aus v ein erwartungstreuer Schätzer für V wird, müssen wir v mit einem Korrekturfaktor multiplizieren. Dieser Faktor ist abhängig von n: Für kleine n muss er recht groß sein und für sehr große n gegen 1 streben. Der gesuchte Faktor ist n/(n-1). Warum gerade so, weiß ich nicht. Hier mag ein Mathematiker aushelfen 
Ok, fügen wir den Korrekturfaktor ein, ergibt sich
v = n/(n-1) * Summe((x-m)²)/n = 1/(n-1) * Summe((x-m)²) = Summe((x-m)²)/(n-1)
Dieser Schätzer ist nun erwartungstreu.
LG
Jochen
