Standardabweichung

[Michael_cb6a1a]

Hallo,

ich schreibe gerade an einer Arbeit zum Thema “Ermittlung des üblichen Preises für eine Sache“. Hierbei muß ich einen Kaufpreis auf seine Üblichkeit überprüfen. Um eine Vergleich herstellen zu können, habe ich -als absoluter Mathelaie- gedacht, ich muß nur den Durchschnittswert von den Vergleichwerten berechnen und hätte dann den Vergleichwert. Dieses ist aber offensichtlich nicht so, weil man noch die Standardabweichung und einen sog. mittleren Fehler (kenne keine Erläuterung und Berechnungsart) berechnen muß.

Kann mir jemand genau -mit leichten Worten- erklären was die Standardabweichung und der mittlere Fehler ist?

Weiterhin wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand meinen Erläuterungstext zur Standardabweichung kommentieren könnte (Ist der Inhalt korrekt und versteht eine Laie diesen?).

Standardabweichung
Für die nachfolgende Vergleichsmietermittlung werden im ersten Schritt die Vergleichspreise aufgeführt. Anschließend wird der Mittelwert der Vergleichspreise gebildet. Um diesen auf seine Aussagefähigkeit zu prüfen, wird die Standardabweichung berechnet. Sie zeigt an, wie weit die durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert ist. Ist die Abweichung sehr groß, sind viele Vergleichswerte im Randbereich. D.h., die herangezogenen Preise liegen preislich weit auseinander. Ist die Standardabweichung sehr gering, so liegen die verwendeten Vergleichspreise dicht beieinander und geben eine qualifizierte Preisspanne wieder.

…

Setz man die ermittelten Werte (Standardabweichung + und -) in ein Verhältnis zum Mittelwert, so ergibt sich die Bandbreite, in der der Preis für das Auto liegen muss, damit er dem ortsüblichen Preis entspricht.

Viele Grüße

[Moriarty_3ffffd]

Hi,

Du mußt den Mittelwert bzw. Durchschnittswert schon berechnen. Hast Du sieben gleiche Kaugummis, die jeweils verschiedene Preise haben, dann ist der Mittelwert die Summe aller Preise, geteilt durch die Anzahl (7).
Sind alle Preise sehr ähnlich, dann ist die Streuung gering, ansonsten hoch. Ein Maß für diese Streubreite ist die Standardabweichung.

Ist ja eigentlich genau das, was in dem Text schon erklärt ist. Ich bin mir nicht sicher, ob man es noch einfacher erklären kann.

Die Standardabweichung kann man auch ausrechnen:
Dazu zieht man den Preis 1 vom Mittelwert ab und quadriert dies.
Dann zieht man Preis 2 vom Mittelwert ab und quadriert dies auch.
Und so weiter.
Dann summiert man diese quadrierten Zahlen und teilt das wieder durch die Anzahl.
Davon zieht man dann noch die Wurzel.
Heraus kommt eine Zahl. Ist sie groß, dann sind die Preise sehr verschieden. Ist sie klein, dann eben nicht. Ist sie 0, dann ist sind alle Preise gleich.

[aiwendil]

Hallo Michael,

Kann mir jemand genau -mit leichten Worten- erklären was die
Standardabweichung und der mittlere Fehler ist?

die Standardabweichung ist die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Werte von ihrem Mittelwert.

S = Wurzel(1/N * Summe[(X - M(X))²].

Mathematisch äquivalent ist:

S = Wurzel (M(X²) - (M(X))²)

S: Standardabweichung
N: Anzahl der Daten
X: Variable mit Wert x
M(X): Mittelwert von X
M(X²): Mittelwert der quadrierten Werte von X

Der mittlere Fehler ist der Mittelwert der Differenz zwischen den Werten und einem Vergleichswert.

1/N * Summe(X - Y).

Wenn dieser bestimmte Wert Y der Mittelwert der Werte von X ist, dann ist der mittlere Fehler immer gleich Null. Insofern würde es keinen Sinn machen, den mittleren Fehler zu berechnen.

Ich habe den folgenden Absatz Deines Text in einer Hinsicht verändert (Großbuchstaben):

Standardabweichung
Für die nachfolgende Vergleichsmietermittlung werden im ersten
Schritt die Vergleichspreise aufgeführt. Anschließend wird der
Mittelwert der Vergleichspreise gebildet. Um diesen auf seine
Aussagefähigkeit zu prüfen, wird die Standardabweichung
berechnet. SIE IST EIN MASS FÜR DIE ABWEICHUNG DER DATEN VOM
MITTELWERT. Ist die Abweichung sehr groß,
sind viele Vergleichswerte im Randbereich. D.h., die
herangezogenen Preise liegen preislich weit auseinander. Ist
die Standardabweichung sehr gering, so liegen die verwendeten
Vergleichspreise dicht beieinander und geben eine
qualifizierte Preisspanne wieder.

Und dazu habe ich auch eine Anmerkung:

Setz man die ermittelten Werte (Standardabweichung + und -) in
ein Verhältnis zum Mittelwert, so ergibt sich die Bandbreite,
in der der Preis für das Auto liegen muss, damit er dem
ortsüblichen Preis entspricht.

Es ist nicht genau erkennbar, was Du mit „ins Verhältnis setzen“ meinst. Ich muß an den Variabilitätskoeffizienten (Standardabweichung dividiert durch Mittelwert) denken, wenn Du „ins Verhältnis setzen“ schreibst. Wahrscheinlich meinst Du aber so etwas wie ein Vertrauensintervall, das gebildet werden kann, indem man für dessen obere Grenze die Standardabweichung zum Mittelwert hinzuzählt und für dessen untere Grenze die Standardabweichung vom Mittelwert abzieht.

Gruß,

Oliver Walter
http://www.verhaltenswissenschaft.de

[Jo1_a88223]

Hallo Oliver,

Und dazu habe ich auch eine Anmerkung:

…

Es ist nicht genau erkennbar, was Du mit „ins Verhältnis
setzen“ meinst. Ich muß an den Variabilitätskoeffizienten
(Standardabweichung dividiert durch Mittelwert) denken, wenn
Du „ins Verhältnis setzen“ schreibst. Wahrscheinlich meinst Du
aber so etwas wie ein Vertrauensintervall, das gebildet werden
kann, indem man für dessen obere Grenze die Standardabweichung
zum Mittelwert hinzuzählt und für dessen untere Grenze die
Standardabweichung vom Mittelwert abzieht.

Und dazu habe ich auch eine Anmerkung:

Meist meint man mit dem Vertrauensintervall aber das Intervall, in dem sich der unbekannte, wahre Wert mit einer gegeben (meist 95%igen) Wahrscheinlichkeit befindet. Wenn die Mittelwerte normalverteilt sind, bekommt man das aus den Quantilen der Normalverteilung (bzw. der t-Verteilung, wenn sie Standardabweichung geschätzt werden muß).

Und noch eine:

„Variabilitätskoeffizienten“ werden auch als „Variationskoeffizienten“ bezeichnet, engl. coefficient of variation, abgekürzt CV oder CV%.

Gruß,
Jochen

[aiwendil]

Hallo Jochen,

Meist meint man mit dem Vertrauensintervall aber das
Intervall, in dem sich der unbekannte, wahre Wert mit einer
gegeben (meist 95%igen) Wahrscheinlichkeit befindet. Wenn die
Mittelwerte normalverteilt sind, bekommt man das aus den
Quantilen der Normalverteilung (bzw. der t-Verteilung, wenn
sie Standardabweichung geschätzt werden muß).

ja, das weiß ich. Was ich in meinen Text nicht geschrieben habe, ist, daß man die Standardabweichung noch durch die Wurzel aus der Stichprobengröße n teilen muß, wenn man ein ca. 68%-VI für den Erwartungswert unter Annahme der Normalverteilung bilden möchte. Wenn aber stattdessen ein Intervall („so etwas wie ein Vertrauensintervall“) so bildet, wie ich es schrieb, dann weiß man unter der Annahme der NV, in welchen Grenzen ca. 68% der Werte liegen.

„Variabilitätskoeffizienten“ werden auch als
„Variationskoeffizienten“ bezeichnet, engl. coefficient of
variation , abgekürzt CV oder CV%.

In der Statistik haben Maße manchmal mehrere Namen. Der Hofstätter/Wendt (Quantitative Methoden der Psychologie I) nennt das von mir angegebene Maß „Variabilitätskoeffizient“ und kürzt es mit V ab, der Bortz (Statistik für Sozialwissenschaftler) „Variationskoeffizient“. Die Standardabweichung heißt auch Streuung, das Vertrauensintervall auch Konfidenzintervall. η² wird auch R² oder sogar ω² genannt, obwohl nicht das ω² gemeint ist, was sonst oft gemeint ist, sondern eben η² bzw. R². Und Jochen wird manchmal auch Wilhelm genannt.

Gruß,

Oliver Walter
http://www.verhaltenswissenschaft.de