Hi alle zusammen!
Ich habe das Problem, dass ich bei einer Rechnung, bspw. Mittelwert oder Streuung, bei deren Ergebnis der Taschenrechner zb 10 Kommastellen anzeigt, ich nicht weiss wann ich auf wie viele Stellen runden muss…
Gibt es da so etwas wie einen Richtwert oder eine Faustformel o.ä.?
Danke schonmal für Eure Hilfe! Schöne Grüße!
Hallo,
ja, da gibt es sogar richtige Regeln zu.
Grundsätzlich sollten Zahlenwerte nicht in einer höheren Genauigkeit angegeben werden, als sie bestimmt (=gemessen) werden können oder praktisch relevant sind. Wenn es sich um rein theoretische Werte handelt (zB. aus einer Aufgabe) und dort keine Angaben über die Genauigkeiten gemacht sind, sollten die Zahlen auf praktikable Genauigkeiten gerundet werden, was meist so 2-4 „zählende Stellen“ sind.
Was „zählende Stellen“ sind und wie man in Berechnungen aus mit Ungenauigkeit behafteten Meßgrößen zu den Ungenauigkeiten der Zielgröße kommt ist leidlich kompliziert und im Detail interpretationsbedürftig (und es gibt im Detail abweichende Definitionen!), was die Sache nicht gerade einfach macht. In aller Regel kommt es so genau aber nicht drauf an und die o.g. Regel lassen sich aus dem Bauch raus sehr gut anwenden. Trotzdem noch eine keine weiterführende Einleitung:
„Zählende Stellen“ sind Dezimalstellen, die als Zahlenwert angegeben sind und anhand derer zwei Zahlen unterschieden werden können. Beispiel: die Zahl 1234 hat 4 zählende Stellen, 1234,56 hat 6 zählende Stellen. Auch 0,00012 hat 6 zählende Stellen. Wenn man diese Zahl vergleichen will mit Zahlen kleiner 0,001, dann kann man die ersten drei Stellen auch komplett weglassen, so dass man die 0,001 als erste zählende Stelle betrachtet usw. Das hätte 0,00012 eigentlich nur drei zählende Stellen. Klarer wird das, wenn man die Zahlen in wissenschaftlicher Notation schreibt: 0,12x10-3. Zahlen ohne Nachkommastellen, die Nullen am Ende haben, sieht man nicht an, wieviele zählende Stellen sie haben (sollen). Das muss aus dem Kontext hervorgehen. Beispiel: 12000 kann 2 oder mehr Zählende Stellen haben, 12300 kann 3 oder mehr haben, 12003 hat auf jedenfalls 5 zählende Stellen. Schreibe ist 12000,0, dann meine ich damit, dass die Zahl 6 zählende Stellen hat. Wieder ist die wiss. Notation etwas klarer: 1,20x103 hat 3 zählende Stellen.
Nun zu ein paar Berechnungen: Wenn ich wissen will, wie lange ich mit dem Zug von A nach B brauche, und die Geschwindigkeit (v = 92 km/h) sowie die Entfernung (s = 53 km) kenne, ergibt sich die Zeit als t = s/v = 53/92 h = 0,576086957… h. Jetzt ist nichts weiter angegeben, was die Genauigkeiten der Ausgangsgrößen angeht. Praktischer Weise ist es aber sicher nicht sinnvoll, die Fahrzeit auf die Zehntelsekunde genau anzugeben. Wenn man bedenkt, dass Züge sowieso meist ein bis zwei Minuten früher oder später eintreffen als Fahrplanmäßig angegeben, reicht die Angabe auf die Minute oder halbe Minute genau sicher aus. In diesem Fall wären das 34,5 Minuten (0,575 Stunden).
Gehen wir nun davon aus, v könne mit einer Genauigkeit von +/- 1 km/h und die Strecke könne mit einer Genauigkeit von 0,1 km bestimmt werden. Um die Genauigkeit der Division abzuschätzen, hilft es, die Rechnung mal mit den Grenzwerten des Genauigkeitsbereichs durchzuführen, also mit 93 km/h und 52,9 km sowie mit 91 km/h und 53,1 km. Man erhält 0,5835… h sowie 0,5688… h. Hier sieht man schon, dass sich die Zeiten bereits in der zweiten Nachkommastelle unterscheiden. Es reicht also sicher die Angaben von t = 0,57 h = 34,2 Minuten (wobei dann üblicherweise noch die Breite des Unsicherheitsbereichs angegeben wird: +/- 0,02 h bzw. 1,2 Minuten).
Für Additionen und Subtraktionen ist es deutlich einfacher. Hier gilt: Das Ergebnis ist höchstens so genau wie der ungenaueste Summand. Beispiel: Als Ergebnis von 12,34 + 0,000123 würde ich 12,34 angeben. Steht da allerdings 12,34000 + 0,000123, gebe ich 12,34012 an.
Bei der Subtraktion muss man noch etwas aufpassen, wenn das Ergebnis unterhalb der Genauigkeit der Ausgangsgrößen liegt. Beispiel: 1,234 – 1,23 = 0,004, die Genauigkeit ist aber nur 0,01. Hier würde es reichen, als Ergebnis 0,00 anzugeben.
LG
Jochen
Hi Jochen, vielen Dank für deine Antwort!
Angenommen ich habe einen Mittelwert xquer = 7,9
und eine Streuung squer = 0,245992523 (alle vom TR angezeigten Stellen)
c(3) = 0,5 * sqrt(PI) = 0,8862269255
=> Schätzwert für sigma0 = squer / c(3)
Wann runde ich wo und warum auf wie viele Kommastellen?
Hallo,
Angenommen ich habe einen Mittelwert xquer = 7,9
und eine Streuung squer = 0,245992523 (alle vom TR angezeigten
Stellen)c(3) = 0,5 * sqrt(PI) = 0,8862269255
=> Schätzwert für sigma0 = squer / c(3)
Wann runde ich wo und warum auf wie viele Kommastellen?
Da hast Du ja keinerlei Angaben über Meßungenauigkeiten (zB. der x-Werte), also kannst du nur den gesunden Menschenverstand benutzen. Darf ich mich da mal selbst zitieren: „Wenn […] keine Angaben über die Genauigkeiten gemacht sind, sollten die Zahlen auf praktikable Genauigkeiten gerundet werden, was meist so 2-4 „zählende Stellen“ sind.“
Demnach würde ich sigma0 = 0,28 angeben.
Alles klar?
LG
Jochen