Statistik Fragen (auf englisch)

[tonio]

Sitz hier gerade vor einigen (wahrscheinlich leichten) Fragen.
Kann mir jemand helfen?

1.) Fisheries Science published astudy of the length distributions of sardines in japanese waters. At two years of age, fish have a length distribution that is approximately normal with mean=20.20 cm and standard deviation=0.65 cm. Suppose you randomly pull one two-year old fish out of the water and measure it. What is the probability (rounded) that a two-year old sardine inhabiting japanese water is less than 20 cm long?
A)62%
B)38%
C) 31%
D) virtually 100%
E) essentially zero

2.) Suppose instead of measuring one fish, the study commitee took an average of a sample of 100 two-year old fish. If the mean length is really 20.20 cm, what is the probability that the mean of a sample size=100 would be 20.0 cm or less?
A)less than 1%
B)greater than 99%
C) 38%
D)62%
E) 31%

danke
tonio

[sin_f3a5e8]

Hi!
Der Text ist in der Tat leicht.
Ich hasse Mathe
Ob dir jemand den umsonst übersetzt?

Best wishes
Siân

[Christian_von_T_rne_a0c18a]

Ist zwar noch früh, aber hier erstmal eine Übersetzung der Aufgabenstellung, damit alle mitspielen können!

1. Die Fischerei-Wissenschaft veröffentlichte eine Studie über die Längenverteilung von Sardinen in japanischen Gewässern. Bei einem Alter von zwei Jahren haben die Fische eienr Längenverteilung, die etwa einer Normalverteilung mit Mittelwert 20.2 cm und der Standardabweichung 0.65cm entspricht.

Angenommen, man zieht zufällig einen zweijährigen Fisch aus dem Wasser und mißt seine Länge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zweijährige Sardine aus japanischen Gewässern weniger als 20cm lang ist?

A) 62%
B) 38%
C) 31%
D) praktisch 100%
E) praktisch 0%

2. Angenommen, daß statt eines Fisches eine Probe von 100 zweijährigen Fischen genommen wird. Wenn die mittlere Länge in Wirklichkeit 20.2cm beträgt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Mittelwert der Probe 20.0cm oder weniger beträgt?

A) weniger als 1%
B) mehr als 99%
C) 38%
D) 62%
E) 31%

Hinweis zu 1): Kumulierte Wahrscheinlichkeit, vermutlich
P(länge

[aiwendil]

Hallo tonio,

hier die Lösungen der Aufgaben mit den Lösungswegen

Zu 1)

Die richtige Antwortet lautet: B

Lösungsweg:

Wir müssen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der ein Fisch mit Länge kleiner als 20 cm gezogen wird. Die Verteilung der Fischlängen ist normal mit Erwartungswert 20,2 cm und Streuung 0,65 cm. Also müssen wir den Anteil an der Fläche unter der Normalverteilungskurve mit Erwartungswert 20,2 cm bei einer Streuung von 0,65 cm bestimmen, der von minus unendlich bis 20 cm reicht. Dazu z-transformieren wir erst einmal den Wert 20 cm:

z_x = (x-E(X))/sigma(X) = (20 cm - 20,2 cm)/0,65 cm = -0,3077.

Dann schauen wir in der Tabelle der Standardnormalverteilung bei 0,31 nach, lesen den Wert ab und ziehen ihn von 1 ab (denn wir suchen die Fläche bis -0,31 und Normalverteilungen sind symmetrisch). Wir erhalten eine Wahrscheinlichkeit von 0,3783 für -0,31. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, einen Fisch von weniger als 20 cm Länge zu ziehen, bei ca. 38%.

Zu 2)

Die richtige Antwort lautet: A

Lösungsweg:

Diese Aufgabe ist analog der Aufgabe 1 zu lösen, wobei jedoch jetzt die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden muß, daß der Mittelwert einer Stichprobe von 100 Fischen aus der Population mit Erwartungswert 20,2 cm und Streuung 0,65 cm kleiner als 20 cm ist. Wir müssen also die Verteilung der Mittelwerte der Länge statt die Verteilung der Länge betrachten. Die Verteilung der Mittelwerte einer normalverteilten Zufallsvariable ist selbst wieder normalverteilt. Sie hat den gleichen Erwartungswert wie die Verteilung der Zufallsvariable, aber eine Varianz gleich der Varianz der Zufallsvariable dividiert durch die Stichprobengröße. Die Verteilung der Mittelwerte ist in diesem Fall also normal mit Erwartungswert 20,2 cm und Streuung 0,065 cm.

Nun ist das Vorgehen zu dem in Aufgabe 1 analog: Wir müssen den Anteil an der Fläche unter der Normalverteilungskurve der Mittelwerte mit Erwartungswert 20,2 cm und einer Streuung von 0,065 cm bestimmen, der von minus unendlich bis 20 cm reicht. Dazu z-transformieren wir den Wert 20 cm:

z_M(X) = (M(X)-E(M))/sigma(M(X)) = (20 cm - 20,2 cm)/0,065 cm = -3,0769.

Dann schauen wir in der Tabelle der Standardnormalverteilung bei 3 nach, lesen den Wert ab und ziehen ihn von 1 ab (denn wir suchen die Fläche bis -3 und Normalverteilungen sind symmetrisch). Wir erhalten eine Wahrscheinlichkeit von 0,0013 für -3. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, einen Fisch von weniger als 20 cm Länge zu ziehen, bei unter einem 1%.

Gruß,

Oliver Walter