Statistik: Standardabw. und Fehlerfortpflanzung

[Nina_d11ec7]

Ich habe ein kleines Problem…
Und zwar habe ich aus Messwerten eine Funktion y = mx herausbekommen…
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich nun von den Messwerten die Standardabweichung geschweige denn die Fehlerfortpflanzung berechnen könnte…

es geht dabei um optische Aktivität.
Das Diagramm zeigt den Drehwinkel in Abhängigkeit der Konzentration…

(Also x = Konzentration und y = Drehwinkel)

Hier die Messwerte:

c1 = 0,0050061 g/mL Alpha1 = 5,5°
c2 = 0,0075635 g/mL Alpha2 = 9°
c3 = 0,0101215 g/mL Alpha3 = 12,3°
c4 = 0,0125553 g/mL Alpha4 = 15,4°
c5 = 0,0150558 g/mL Alpha5 = 18,8°

Muss ich vielleicht von der Ausgleichsgerade die Funktionsgleichung bestimmen und dann mit ihr meine „eigentlichen“ y-Werte bestimmen und dann von „meinen“ y-Werten die Abweichung zu den y-Werten (aus der Fkt.-Gleichung) bestimmen?

Ich habe bisher immer nur Standardabweichung von „einfachen“ Sachen bestimmt…
z.B. von Messungen… Wo man dann einfach den Durchschnitt, bzw. Mittelwert nehmen konnte…
Aber das geht ja hier nicht, oder?

Danke im voraus…

Nina

[Anonym]

Hi Nina!
Bezeichnungen: S(x_i) ist die Summe über x_i von i=1 bis N, N die Zahl der Messungen und Mx_i der Mittelwert der Meßreihe x_i.

Aber ich habe keine Ahnung, wie ich nun von den Messwerten die
Standardabweichung geschweige denn die Fehlerfortpflanzung
berechnen könnte…
Muss ich vielleicht von der Ausgleichsgerade die
Funktionsgleichung bestimmen und dann mit ihr meine
„eigentlichen“ y-Werte bestimmen und dann von „meinen“
y-Werten die Abweichung zu den y-Werten (aus der
Fkt.-Gleichung) bestimmen?

Ziemlich gut getroffen!

es geht dabei um optische Aktivität.
Das Diagramm zeigt den Drehwinkel in Abhängigkeit der
Konzentration…

(Also x = Konzentration und y = Drehwinkel)

Hier die Messwerte:

c1 = 0,0050061 g/mL Alpha1 = 5,5°
c2 = 0,0075635 g/mL Alpha2 = 9°
c3 = 0,0101215 g/mL Alpha3 = 12,3°
c4 = 0,0125553 g/mL Alpha4 = 15,4°
c5 = 0,0150558 g/mL Alpha5 = 18,8°

Da du eine lineare Regression vermutest, hat die beschreibenden Gerade die Form
f(x) = mx+b
Dabei sind m und b zu schätzen.
dabei gilt als bester Schätzer für

m: [N*S(x_i*y_i) - S(x_i)*S(y_i)] / [N*S(x_i²) - (S(x_i))²]

b: My_i-m*Mx_i

mit N=5

Daraus ergibt sich dann eine Regressionsgleichung, wie oben beschrieben. I.a. wird aber nicht f(x)=y gelten.
Ziel ist es, mit dem Modell möglichst viel der Streuung der y-Werte zu erklären (die ja um My_i streuen). Deswegen wird die Gesamtstreuung der yi in den erklärten und den unerklärten Teil zerlegt.
Dabei gilt:
S((yi - My_i)²) = S((f(x)-My_i)²) + S((y_i - f(x))²)
Die Srteuung der y_i wird also berechnet wie immer, aus der erklärten Streuung und der Gesamtstreuung läßt sich dann das Bestimmtheitsmaß berechnen:
r² = S((f(x) - My_i)²) / S((y_i - My_i)²) = 1 - [S((y_i-f(x))²) / S((y_i - Myi)²)]
das den Prozentsatz der Erklärung der Streuung angibt. Aus diesem kannst du dann weitere statistsche Größen berechnen, u.a. die Signifikanz für das Modell
Weiteres in „Multivariate Analysemethoden“ von Backhaus, Erichson, Plinke, Weiber, Springer-Verlag
Hoffe, deine Frage einigermaßen beantwortet zu haben
Tyll