Steigungswinkel

Wissenschaft Mathematik
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Hallo :smile:
Ich schreibe nach den Ferien eine Mathearbeit. Der Lehrer hat uns eine Probe-Klausur gegeben, die wir über die Ferien rechnen können. Leider liegen keine Lösungen dabei und nun weiß ich nicht so recht, ob ich die Aufgabe richtig gerechnet habe. Es wär super nett, wenn sich jemand meine Rechnung mal anschauen könnte! :smile:

Die Aufgabe war:
Max und Peter fahren mit dem Fahrrad einen Berg hoch. Am Kreuz nach der Kurve beginnt ein 300 m langes, gradliniges Stück mit 12% Steigung.
a) Berechne den Steigungswinkel
b) Wieviel Höhe in Metern haben sie auf dem Stück gewonnen? (Hinweis: sin)

So. Zu allererst habe ich ein Dreieck ABC gezeichnet, wobei die Strecke AB 300 m beträgt. Wegen der 12% Steigung beträgt die Strecke AC doch 100 m und die Strecke BC 12 m, oder? /: … Um den Steigungswinkel zu berechnen habe ich jetzt tan(alpha) genommen. Das ist die Gegenkathete/Ankathete, also 12/100=0,12. Das in arctan eingegeben kommt ein Winkel von 6,84…° raus. Ich bin jetzt jedoch sehr verwirrt, weil wenn man sin, oder cos benutzt kommen andere Werte raus /: Und ich weiß sowieso nicht, ob ich das mit den 100 m und den 12 m machen darf. Aber ansonsten wären ja nur die Strecke AB angegeben und der Winkel gamma. Oder muss ich das alles mit m=y2-y1/x2-x1 und mit dem Schnittwinkel alphaS=alpha1-alpha2 ausrechnen? /:
Zu Aufgabe b). Normalerweise wär das logisch gesehen ja eine Höhe von 12 m die sie dazugewinnen. Aber bei meinen Rechnungen kommt etwas mit 35 m raus, weil wir ja den sin verwenden sollen.
Kann mir jemand helfen?

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Hallo Nanii!

So. Zu allererst habe ich ein Dreieck ABC gezeichnet, wobei
die Strecke AB 300 m beträgt.

AB ist die Hypotenuse bei Dir (also die schräge Seite bergauf)? Dann ist das schon mal gut.

Wegen der 12% Steigung beträgt
die Strecke AC doch 100 m und die Strecke BC 12 m, oder? /:

Nein. Das kommt doch gar nicht hin, guck Dir doch mal Deine Zeichnung an: AB ist doch niemals dreimal so lang wie AC!

Du hast aber recht damit, dass „12% Steigung“ heißt: Wenn Du nur 100m vorwärtskommst, dann legst Du 12 Höhenmeter zurück. (Max und Peter fahren aber viiiel weiter! Deshalb kommen sie auch viiiel höher. Aber dazu unten.)

… Um den Steigungswinkel zu berechnen habe ich jetzt
tan(alpha) genommen. Das ist die Gegenkathete/Ankathete, also
12/100=0,12. Das in arctan eingegeben kommt ein Winkel von
6,84…° raus.

Bei mir auch, wird wohl stimmen.

Ich bin jetzt jedoch sehr verwirrt, weil wenn
man sin, oder cos benutzt kommen andere Werte raus /:

Muss ja auch! Wenn Du den Sinus benutzt, vergleichst Du die Gegenkathete mit der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist aber etwas länger als die Ankathete, also kommt da auch ein ganz anderer Wert raus als beim Tangens.
12% Steigung bedeutet aber nicht: Wenn Du 100m fährst, kommst Du 12m hoch (das wär ja dann Sinus, weil Du auf der Hypotenuse langfährst und Dir die Gegenkathete die Höhe angibt), sondern eben: Wenn Du 100m (Luftlinie) vorwärtskommst, kommst Du 12m hoch. Und die Luftlinien-Entfernung ist, wie Du siehst, die Ankathete.

Und der Kosinus würde dementsprechend die Luftlinie mit der tatsächlich gefahrenen Strecke vergleichen. Auch 'ne sinnvolle Funktion, nur würd ich die dann nicht mehr „Steigung“ nennen. (Vielleicht „Längung“?)

Und ich weiß sowieso nicht, ob ich das mit den 100 m und den 12 m
machen darf.

Das darfst Du nicht nur, dass musst Du sogar, denn so ist die Steigung nun mal definiert.

Zu Aufgabe b). Normalerweise wär das logisch gesehen ja eine
Höhe von 12 m die sie dazugewinnen.

Aber nur, wenn sie lediglich 100m Luftlinie zurücklegen (100,72m Weg). Die beiden in der Aufgabe fahren aber fast dreimal soviel, also gewinnen sie auch fast dreimal soviel Höhe.

Aber bei meinen Rechnungen
kommt etwas mit 35 m raus

Da 3*12=36, scheint das zu stimmen.

weil wir ja den sin verwenden
sollen.

Was heißt hier „sollen“? In Deiner Skizze kannst Du doch selbst sehen, dass Du den Sinus brauchst!

Liebe Grüße
Immo

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Hallo Vokietis :smile:
Ja, genau die Strecke AB ist die Hypotenuse bei mir.
Ich habe gerade auch festgestellt, dass die Strecke AC nicht dreimal länger als AB ist /: Wie doof ): Aber dann darf ich das mit den 12 m und den 100 m doch gar nicht machen?
Und bei Aufgabe b) hatte ich jetzt gerechnet:
sin(alpha)=a/c a=sin(alpha)*c =6,84°*300=33,44…
Das passt dann nicht so wirklich mit den 3*12=36, weil dann 3 m fehlen würden /: … Und außerdem basiert das ja alles auf diesen 100 m und 12 m … Aber sonst habe ich keine Werte angegeben :frowning:

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Statt Zeichnung:
Strasse = Hypotenuse AB=300m (mit Winkel alpha bei A)
horizontale Kathete= x
vertikale Kathete=h

Tan alpha = 12% = 12/100 = 0,12 —> 6,842°

X/300=cos(6,842°) —> X = 297,86 m (= Länge horiz.Kath.)

Die Steigung: 12/100 = h/297,86 —> umstellen nach h

h=35,74 m

Gruß
Horst

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Vielen Dank Horst,
jedoch sollen wir Sinus benutzen /:
Da liegt ja mein Problem…

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Bzw. mit sin gerechnet, wär das dann so?:

sin(alpha)=a/c a=sin(alpha)*c=35,73m … ja, oder? :smile:)

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Wenn man den Winkel alpha errechnet hat geht auch:
sin(6,84°) = h/c

h = c*sin(6,84°) [c=Hypoth.)
h = 300*0,1191 = 35,74 meter

l.G.
H.

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siehe mein letztes Posting

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Vielen, vielen Dank :smile: