gehts mir eigentlich mehr darum, wie ich
meine Formel nach s auflösen kann.
(interessanter für mich ist der Weg,
weniger das Ergebnis)
Hi Namensvetter 
!
Die Bewegung des fallenden Steins ist vom Typ „gleichmäßig beschleunigt“ (mit der Beschleunigung g = 9.81 m/s^2) und wird daher beschrieben durch
(1) s = 1/2 g t1^2
Die Bewegung des Schalls, der mit konstanter Geschwindigkeit v nach oben läuft, wird beschrieben durch
(2) v = s/t2
Außerdem gilt für die Gesamtzeit T, die vom Loslassen des Steins bis zum Hören seines Aufschlags vergeht:
(3) T = t1 + t2
Die gesuchte Größe ist s. Um das System (1)…(3) nach s aufzulösen, löst Du zunächst (1) nach t1 und (2) nach t2 auf und setzt die Ergebnisse anschließend in (3) ein.
–>
T = Wurzel(2 s/g) + s/v
Subtrahiere beidseitig s/v -->
T - s/v = Wurzel(2 s/g)
Quadriere beide Seiten -->
T^2 - 2 T s/v + s^2/v^2 = 2 s/g
Subtrahiere beidseitig (2 s/g + T^2) -->
s^2/v^2 - 2 T s/v - 2 s/g = - T^2
Klammere 2 s aus -->
s^2/v^2 - 2 (T/v + 1/g) s = - T^2
Mache s^2 durch Multiplikation beider Seiten mit v^2 vorfaktorlos („Normierung“ der Gleichung):
s^2 - 2 (T + v/g) v s = - T^2 v^2
Wenn ich den Ausdruck „(T + v/g) v“ einfach mal mit c abkürze, dann haben wir da stehen
s^2 - 2 c s = - T^2 v^2
Nun wäre es klasse, wenn auf der linken Seite der Ausdruck s^2 - 2 c s + c^2 stehen würde, weil der gleich (s - c)^2 ist und sich daraus leicht die Wurzel ziehen läßt. Dafür, daß besagter vorteilhafter Ausdruck auf der linken Seite erscheint, läßt sich aber leicht sorgen - man muß einfach nur auf beiden Seiten der Gleichung c^2 addieren (daß sich die rechte Seite dadurch etwas „verkompliziert“ ist nicht weiter schlimm; wichtig ist nur, daß die linke Seite wurzelziehungsbereit wird). Dies ist ein weitverbreitetes Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen. Der jeweils zu addierende Ausdruck - in diesem Fall c^2 - heißt „quadratische Ergänzung“).
s^2 - 2 c s + c^2 = c^2 - T^2 v^2
Linke Seite als Quadrat schreiben -->
(s - c)^2 = c^2 - T^2 v^2
Wurzelziehen -->
s - c = (+/-) Wurzel(c^2 - T^2 v^2)
Beidseitig c addieren -->
s = c (+/-) Wurzel(c^2 - T^2 v^2)
wobei c = (T + v/g) v.
Welches der beiden Zeichen von (+/-) zu verwerfen ist, mußt Du Dir selbst überlegen.
Übrigens: Das Verfahren mit der quadratischen Ergänzung läßt sich natürlich auch ganz allgemein auf die Gleichung
x^2 + p x + q = 0
anwenden und führt dann auf die wohlbekannte(?) Formel
x = -p/2 (+/-) Wurzel((p/2)^2 - q)
Ausgehend von der normierten Gleichung (s. o.)
s^2 - 2 (T + v/g) v s + T^2 v^2 = 0
kannst Du mit dieser Formel das Auflösen nach s ebenfalls bewerkstelligen (ob es sich dabei um die „Mitternachtsformel“ handelt, die hier jemand erwähnte, weiß ich nicht - ich habe diese Bezeichnung noch nie gehört).
Ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.
Mit freundlichem Gruß
Auch Martin