Sterblichkeitsrate einer Tierpopulation berechnen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

mir stellt sich folgende Situation, die ich nicht ansatzweise mathematisch erfassen kann. Vielleicht kann mir hier jemand helfen?

Also:

Eine Tierpolulation besteht aus jahrelang konstant 200 Tieren. (nehmen wir an, zur Hälfte Männchen, zur Hälfte Weibchen).

Das zu erwartende Lebensalter ist im Schnitt 20 Jahre.

Geschlechtsreif werden die Tiere mit 10 Jahren.

Im Schnitt bekommt ein Paar (die Paare mischen sich, also nie der gleiche Partner) 1 Junges in 3 Jahren.

Obwohl die Tiere sich frei paaren können, wird die Population seit Jahren und Jahrzehnten nicht größer.

Kann man mithilfe obiger Angaben in etwa die Sterblichkeitsrate der Tiere ermitteln? Also, kann man sagen, von x geborenen Tieren werden z Tiere nicht geschlechtsreif? Fehlt noch irgendeine Angabe?

Danke
Slides-Only

#2

Hallo!

Mal ein Lösungsansatz:

Nennen wir x(t) die Anzahl der Tiere mit Alter t (in Jahren).
S sei die Sterberate der Gesamtpopulation, G ihre Geburtenrate. Was wissen wir?

  1. S = G (Laut Aufgabe ändert sich der Gesamtbestand nicht).

  2. G = Σ x(t) * 1/3 * 1/2

1/3, weil durchschnittlich jedes dritte Jahr ein Kind auf die Welt kommt.
1/2, weil immer zwei Individuen für eine Geburt benötigt werden.

Die Summe läuft von t = 10 bis ∞

  1. Was in der Aufgabe nicht verraten wird: Ist die Sterberate auf alle Altersklassen gleich verteilt? Falls ja, dann gilt:

x(t+1) = x(t) * (1 - S/200)

200 ist die Gesamtzahl der Tiere. Die Sterberate verteilt sich auf alle Individuen gleich, also beträgt sie pro Tier S/200. Wenn das Tier nicht stirbt, ist es im kommenden Jahr ein Jahr älter. Da sich die Gesamtzahl nicht ändert, handelt es sich um ein stationäres System, d. h. die Anzahl der Tiere jeder Altersklasse ist immer konstant und lässt sich aus der Anzahl der Tiere, die ein Jahr jünger sind, auf die angegebene Weise berechnen.

Diese rekursive Gleichung kann man explizit auch so schreiben:

x(t) = x(0) * (1 - S/200)t

  1. x(0) = G

Trivial. Die Anzahl der Neugeborenen entspricht genau der Gesamtgeburtenrate.

Wenn man nun alle Gleichungen zusammenfasst, kommt man meiner Meinung nach auf

G = Σ G * (1 - G/200)t * 1/6 [für t=10 bis ∞]

Diese Gleichung nach G aufzulösen ist trivial und ich überlasse es dem geneigten Leser als Übungsaufgabe.

Michael

PS: Wer Ironie gefunden hat, darf sie behalten.

#3

Hallo,

besorge dir zur Lösung deiner Frage eventuell die Bücher:
-> Bossel, H., Umweltdynamik - 30 Programme für kybernetische Umwelterfahrungen. te-wi, München 1985.
-> Bossel, H., Modellbildung und Simulation, 2.Aufl., Vieweg-Verlag, Braunschweig 1994

Das erste Buch kenne ich und hatte vor Jahren auch das darin von Bossel angegebene Programm DYSIS auf einem Commodore 64 installiert und eingesetzt.
Man kann sich in die speziellen, umweltdynamischen Fachausdrücke relativ leicht einarbeiten.

Für deine Frage trifft etwa das Kapitel: „Modell von Wachstums- oder
Zerfallsprozessen bei unbegrenzter Tragfähigkeit“ zu.
Es soll: „Bei relativ konstanten Geburts- und Sterberaten als einfaches Bevölkerungsmodell“ verwendbar sein.

Gruß

watergolf

#4

Hallo,

lassen wir die Trivialität, dass die Sterberate aller Lebewesen 100% beträgt mal weg. Du hast 4 Aussagen gemacht:

1

Eine Tierpolulation besteht aus jahrelang konstant 200 Tieren.

2

Das zu erwartende Lebensalter ist im Schnitt 20 Jahre.

3

Geschlechtsreif werden die Tiere mit 10 Jahren.

4

Im Schnitt bekommt ein Paar (die Paare mischen sich, also nie
der gleiche Partner) 1 Junges in 3 Jahren.

Das ist offensichtlich zu viel Nachwuchs. Wenn du jetzt annimmst, das Tiere vor der Geschlechtsreife sterben (oder nachher, das ist egal), stimmt die Aussage 2 nicht mehr - dann liegt das Lebensalter eben nicht mehr bei 20 Jahren. Bleiben als Lösung noch Totgeburten, aber dann stimmt ja Aussage 4 nicht mehr.

Mathematisch spricht das dafür, dass du nicht zuwenig, sondern zuviel Angaben gemacht hast und diese im speziellen Fall widersprüchlich sind.

Gruss Reinhard