ich habe folgende Funktion:
f(x)= 1/q falls x Element Q mit x = p/q, p Element Z, q Element Z,
und p/q ist ausgekürzt
und
f(x) = 0 falls x Element R/Q
Ich möchte beweisen, dass f(x) für alle x Element R\Q stetig ist. Dazu habe noch noch diesen Hinweis:
Beweisen Sie, dass es zu gegebenen Epsilon >0 in (x-1,x+1) nur endlich viele p/q geben kann, sodass 1/q >= Epsilon.
Irgendwie habe ich keine Idee, wie ich das machen soll und wie mir der Hinweis dabei helfen soll.
Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, wie ich da vorgehen muss? Ich grüble schon ein paar Stunden und mir fällt nichts ein, was zu einem vernünftigen Ergebnis führt.
sry ich bin nicht gerade gut in Mathe aber wir machen im Moment das gleiche Thema.
Wenn es dir genügt, dass ich dir sage und nicht beweise ab wo die Funktion nicht mehr stetig ist, dann kann ich es mal versuchen.
also deine Funktion lautet,
f(x)= 1/q mein Problem, um an die aufgabe ran zu gehen ist, dass auf der rechten Seite nur ein q steht und kein x, stände da statt dem q ein x somit wäre das ganze sehr einfach, denn durch Null darfst du nicht teilen und somit wäre die Funktion auf ganz R{0} definiert und somit auch nicht stetig fortsetzbar.
Dann gilt, dass die Menge R dicht ist, die Menge R\Q aber
auch. Du hast also für eine dichte Punktmenge eine Funktion
f(x)=0 const.
So habe ich mir das zuerst auch gedacht, dann aber den Hinweis bekommen, dass f für ganz R definiert ist, also auch für x Element Q und deshalb f nicht konstant ist.
Zusätzlich habe ich ja noch den Hinweis:
Beweisen Sie, dass es zu gegebenen Epsilon >0 in (x-1,x+1) nur endlich viele p/q geben kann, sodass 1/q >= Epsilon.
Der müsste ja sinnvoller Weise irgendwie in meinem Beweis auftauchen. Nur verstehe ich nicht, was ich damit anfangen soll.
Ich werde wohl einfach warten müssen, was der Tutor morgen dazu meint. Muss mir das scheinbar etwas detailierter erklären lassen…
So habe ich mir das zuerst auch gedacht, dann aber den Hinweis
bekommen, dass f für ganz R definiert ist, also auch für x
Element Q und deshalb f nicht konstant ist.
Ja, die Funktion ist schon definiert für ganz R, das ist klar. Aber diese Definition ist nach meinem Verständnis, auch wenn die „Abschnitte“ optisch nicht darstellbar sind, dennoch eine abschnittsweise …? Hm.
