Stetigkeit beweisen

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo zusammen,

ich habe folgende Funktion:
f(x)= 1/q falls x Element Q mit x = p/q, p Element Z, q Element Z,
und p/q ist ausgekürzt

und

f(x) = 0 falls x Element R/Q

Ich möchte beweisen, dass f(x) für alle x Element R\Q stetig ist. Dazu habe noch noch diesen Hinweis:

Beweisen Sie, dass es zu gegebenen Epsilon >0 in (x-1,x+1) nur endlich viele p/q geben kann, sodass 1/q >= Epsilon.

Irgendwie habe ich keine Idee, wie ich das machen soll und wie mir der Hinweis dabei helfen soll.

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, wie ich da vorgehen muss? Ich grüble schon ein paar Stunden und mir fällt nichts ein, was zu einem vernünftigen Ergebnis führt.

#2

Korrektur: Stetigkeit beweisen
Richtig muss es heißen:

f(x)= 1/q falls x Element Q mit x = p/q, p Element Z, q Element N,
und p/q ist ausgekürzt

#3

Guten Abend,

sry ich bin nicht gerade gut in Mathe aber wir machen im Moment das gleiche Thema.

Wenn es dir genügt, dass ich dir sage und nicht beweise ab wo die Funktion nicht mehr stetig ist, dann kann ich es mal versuchen.

also deine Funktion lautet,

f(x)= 1/q mein Problem, um an die aufgabe ran zu gehen ist, dass auf der rechten Seite nur ein q steht und kein x, stände da statt dem q ein x somit wäre das ganze sehr einfach, denn durch Null darfst du nicht teilen und somit wäre die Funktion auf ganz R{0} definiert und somit auch nicht stetig fortsetzbar.

sry nochmal wenn ich dir nicht weiterhelfen kann :frowning:

viele Grüße Matthias

#4

Hallo Matthias,

damit komme ich leider nicht weiter.

Die Funktion ist für ganz R definiert, es gibt aber eine Fallunterscheidung:

f(x)= 1/q falls x Element Q mit x = p/q, p Element Z, q Element N,
und p/q ist ausgekürzt

sonst

f(x) = 0 falls x Element R/Q

Zuerst sollte bewiesen werden, dass die Funktion für x Element Q nicht stetig ist, das habe ich inbekommen.

Jetzt soll noch bewiesen werden, dass sie für x Element R\Q stetig ist und damit komme ich nicht weiter.

#5

Ugh.

Jetzt soll noch bewiesen werden, dass sie für x Element R\Q
stetig ist und damit komme ich nicht weiter.

f(x)= 0 für x € R\Q so richtig?

Dann gilt, dass die Menge R dicht ist, die Menge R\Q aber auch. Du hast also für eine dichte Punktmenge eine Funktion f(x)=0 const.

Darauf würde ich aufsetzen …

Aga,
CBB

#6

Hi Chief,

danke für die Antwort.

f(x)= 0 für x € R\Q so richtig?

Ja genau. Das ist gemeint.

Dann gilt, dass die Menge R dicht ist, die Menge R\Q aber
auch. Du hast also für eine dichte Punktmenge eine Funktion
f(x)=0 const.

So habe ich mir das zuerst auch gedacht, dann aber den Hinweis bekommen, dass f für ganz R definiert ist, also auch für x Element Q und deshalb f nicht konstant ist.

Zusätzlich habe ich ja noch den Hinweis:

Beweisen Sie, dass es zu gegebenen Epsilon >0 in (x-1,x+1) nur endlich viele p/q geben kann, sodass 1/q >= Epsilon.

Der müsste ja sinnvoller Weise irgendwie in meinem Beweis auftauchen. Nur verstehe ich nicht, was ich damit anfangen soll.

Ich werde wohl einfach warten müssen, was der Tutor morgen dazu meint. Muss mir das scheinbar etwas detailierter erklären lassen…

Trotzdem Danke.

#7

Ugh.

So habe ich mir das zuerst auch gedacht, dann aber den Hinweis
bekommen, dass f für ganz R definiert ist, also auch für x
Element Q und deshalb f nicht konstant ist.

Ja, die Funktion ist schon definiert für ganz R, das ist klar. Aber diese Definition ist nach meinem Verständnis, auch wenn die „Abschnitte“ optisch nicht darstellbar sind, dennoch eine abschnittsweise …? Hm.

Aga,
CBB

#8

Hallo,

so kompliziert kann es eigentlich gar nicht sein - bin noch im ersten Semester.

Falls Interesse besteht, melde ich mich mal mit der Lösung…