Stetigkeit, Differenzierbarkeit einer Funktion

Wissenschaft Mathematik
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Hallo,

ich habe folgende Frage: bei einer Kurvendiskussion möchte ich die Funktion f(x)= 5/2x^3-3/8x^5 auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit hin untersuchen:
Ich habe folgende Ansätze:
1.) Stetigkeit:
da weiß ich ehrlich gesagt nicht genau was ich machen soll, ich weiß zwar wie stetigkeit definiert ist und was es ist aber nicht wie ich es für die Funktion nachweise

2.) Differenzierbarkeit:
hier weiß ich auch nicht genau was ich machen soll, auch hier weiß ich wa differenzierbar bedeutet, nur weiß ich auch nicht wie ich es nachweisen soll. Es gibt ja die Formel lim x->h f(x+h)-f(x)/h. muss ich das hiermit nachweisen?

Danke für die Hilfe!

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Hallo,

ich habe folgende Frage: bei einer Kurvendiskussion möchte ich
die Funktion f(x)= 5/2x^3-3/8x^5 auf Stetigkeit,
Differenzierbarkeit hin untersuchen:

Hallo Maria,

diese Funktion ist ein Polynom, und Polynome sind immer sowohl stetig als auch differenziebar.
Wenn du es trotzdem beweisen willst, dann ginge das folgendermaßen:
Du nimmst eine beliebige Stelle a und untersuchst f auf Stetigkeit an dieser Stelle.

\lim\limits_{x\nearrow a}f(x)=\frac{5}{2}a^3-\frac{3}{8}a^5

\lim\limits_{x\searrow a}f(x)=\frac{5}{2}a^3-\frac{3}{8}a^5

f(a)=\frac{5}{2}a^3-\frac{3}{8}a^5

Damit stimmen sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert mit dem Funktionswert überein, und dass ist die (oder besser eine) Definition von Stetigkeit in a.
Da nun a beliebig war folgt, dass f in jeder Stelle stetig ist.

Um zu zeigen, dass f in a auch differenzierbar ist musst du zeigen, dass

\lim\limits_{x\nearrow a}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{x\searrow a}\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Am besten rechnest du zuerst aus was

\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

ist, dann wirst du sehen, dass da ein Polynom rauskommt (das man mit f’(x) bezeichnet).
Dann untersuchst du ob
\lim\limits_{x\nearrow a}f’(x)=\lim\limits_{x\searrow a}f’(x)

Aber wie gesagt, bei Polynomen kann man sich solche Untersuchungen eigentlich sparen, auch wenn es gut ist das mal an einem Beispiel durchzurechnen um zu sehen an welchen Stellen sich das ganze in Wohlgefallen auflöst.

Grüße

hendrik

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Hallo Hendrik!

Vielen Dank für deine Antwort, hat mir weitergeholfen!

ich hätte da noch eine Frage: würde als Antwort auch genügen, dass f(x) eine ganzrationale Funktion ist und daher ist sie stetig und differnzierbar in ihrem Definitionsbereich?
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen ohne Wurzel oder Variablen im Nenner, das ist korrekt oder?

VG Maria

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ich hätte da noch eine Frage: würde als Antwort auch genügen,
dass f(x) eine ganzrationale Funktion ist und daher ist sie
stetig und differnzierbar in ihrem Definitionsbereich?

Ja, normalerweise argumentiert man so.

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen ohne Wurzel oder
Variablen im Nenner, das ist korrekt oder?

Eine ganzrationale Funktion ist im Prinzip das gleiche wie ein Polynom, d.h. eine Funktion die sich in der Form

f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0

schreiben lässt.
Die ai nennt man die Koeffizienten des Polynoms. n ist der Grad der Funktion.

Grüße

hendrik