Stetigkeit einer Funktion auf einem Intervall

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, liebe Leute!

Wie der Titel bereits erahnen lässt, handelt meine Frage davon, wie man am besten Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit auf einem ganzen Intervall (bsp. ganz \mathbf{R}) zeigt bei einer gegebenen Funktion.

Mir ist es soweit klar, wie die Sache funktioniert, wenn man die Stetigkeit/Differenzierbarkeit einer Funktion an einem spezifischen Punkt zu zeigen hat, allerdings komme ich irgendwie nicht weiter, wie ich dies dann für ein ganzes (unendliches) Intervall adaptieren kann.

Ich wäre froh, wenn mir jemand einen kleinen Input vermitteln könnte und vielleicht auch an einer einfach Funktion illustrieren könnte, wie zum Beispiel:
f(x, y) = (x^{2} + y^{2})

Vielen herzlichen Dank und einen schönen Rest des Wochenendes
Palandrion

#2

Hi, Palandrion!
Geht es dir gezielt um Funktionen mit zwei Variabeln?
Ansonsten ein einfaches Beispiel:
f(x)=x2 ist stetig auf ganz R.
Es muss ja dann für alle x0 gelten: lim f(x0+h)=f(x0), wobei der Limes so zu bilden ist, dass h gegen 0 geht. Ich lasse das aus Gründen der Darstellbarkeit hier weg.
Die Stetigkeit lässt sich hier einfach beweisen:
lim f(x0+h)=lim (x0+h)2=lim (x02+2x0*h+h2). Wenn h gegen 0 geht, dann gehen auch die beiden letzteren Summanden gegen 0, also bleibt nur noch lim (x02) =x02 übrig, was aber genau f(x0) ist.
Da x0 beliebig reell ist, ist damit die Stetigkeit auf ganz R gezeigt.
Für zwei Variablen und die partielle Stetigkeit nach x bzw. y lässt sich das Verfahren analog übertragen.
Brandy

#3

Hi,
was oft hilft, ist, dass es meistens erlaubt ist, die Stetigkeit der funktion y=x vorauszusetzen. wenn nicht, der Beweis dafür ist nicht schwer.

Weisters gilt, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig ist was Addition und Multiplikation betrifft.

Nun x² ist x * x und das sind beides stetige Funktionen. So kannst du zeigen, dass jede gebrochen rationale Funktion (in ihrem Def.bereich) stetig ist…

lg
Alex

#4

Hallo Brandy!

Danke schon einmal für deinen Tip, ich habe mich auch sogleich einer Aufgabe angenommen, die ich in Übungen finden konnte. Sie sieht folgendermassen aus:
f: \Re^{2}\rightarrow\Re, f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} * \varphi(\frac{y}{x^{2}}) mit x \not= 0
und f(x, y) = 0 mit x = 0

Anmerkung: phi(z) > 0 wenn z in (1, 2) und phi(z) = 0 für z nicht in (1, 2)

Zu zeigen ist, dass f überall stetig ist.

Begonnen habe ich nun mit x = 0. Da liess ich zuerst x gegen 0 laufen und zwar mit 2 möglichen Fällen:

  1. y = 0 und 2. y \not= 0

Bei beiden Fällen liegt der Grenzwert von y / x^2 nicht in (1, 2), somit ist phi(z) = 0 und die Funktion ist an 0 stetig

Allgemein betrachtet ist ja der Wurzelausdruck stetig, da ja nur elementare Operationen vorkommen, allerdings macht mir das phi etwas zu schaffen. Irgendwie komme ich nicht dahinter, wie ich zeigen kann, dass phi selbst in (1, 2) stetig ist und vor allem an der Stelle x = 1 und x = 2.

Ansonsten kann ich aber nur Dankeschön sagen, denn mir ist es jetzt klar, wie man die Stetigkeit zeigt, das mit dem phi ist sicher nur ein „auf dem Schlauch Stehen“ :wink:

Gruss
Palandrion

#5

Ich finde hier irgendwie keinen Button für eine Editierung meines Beitrags, daher muss ich halt einen zweiten schreiben!

Ich habe in der Aufgabenstellung überlesen, dass phi beliebig oft stetig differenzierbar ist und somit also stetig sein muss. Daher hat sich jetzt eigentlich alles geklärt, Stetigkeit ist kein Problem mehr, danke euch!

Gruss
Palandrion