Hallo Leute!
Ich dürfte wieder einmal auf der Leitung stehen… ich weiß zwar was Stetigkeit bedeutet, doch wie zeige bzw. beweise ich, daß z.B. f(x)=x^3 stetig ist?
Liebe Grüße und schon mal danke!
Mone.
Wenn du das rein mechanisch beweisen wolltest, dann müsstest du für jeden erdenklichen Wert X den links und rechtsseitigen Grenzwert bilden. Doch hier kann man sofort behaupten, dass diese Funktion stetig ist, ohne viel zu beweisen zu müssen, da alle FUnktionen erstmal stetig sind, es gibt nur wenige Ausnahmen, wo man prüfen muss, zB abschnittsweise definierte Funktionen, die müssen nicht unbedingt stetig sein, oder signum Funktionen, die können garnicht stetig sein, oder wenn x im Nenner steht, da müsste man auch noch etwas genauer nachprüfen.
Ich bin mir sicher, du kannst da einfach guten gewissens behaupten, dass diese Funktion stetig ist, da sie eine einfache rationale Funktion nten Grades ist.
Ich hoffe ich kann dir damit ein bischen helfen
Du brauchst da einfach nichts beweisen, da reicht der hinweis, dass, … wie oben erklärt
Michael Stephan
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Hi Mone,
im folgenden seien g,h,k stetige Funktionen von R -> R (R=Körper der reellen Zahlen)
1. Möglichkeit
Satz: Ist g und h in x0 stetig, so folgt
a) g + h in x0 stetig
b) g * h in x0 stetig
c) g / h in x0 stetig, falls g(x0) ungleich 0
Ist bereits bekannt, dass g(x):=x für bel. x0 stetig ist, so folgt aus obigen Satz:
k(x):=g(x)*g(x) ist stetig und f(x) := k(x)*g(x) = x3 ist stetig.
2. Möglichkeit
Satz: f ist genau dann stetig in x0, wenn für jede reelle Folge xn
mit xn -> x0 (n gegen Unendlich) gilt: f(xn) -> f(x0)
Sei xn also eine beliebige Folge mit xn -> x0
Aus den Grenzwertsaetzen kann man sofort folgern:
xn3 -> x03
also f(x):=x3 ist stetig in x0.
3.Möglichkeit
Epsilon - Delta Kriterium
f ist stetig in x0, wenn zu jedem eps>0 ein deltaeps>0 gibt, so dass aus |x-x0|eps stets folgt:
|f(x)-f(x0)|[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi Michael,
sorry ich möchte Deine gut gemeinte Absicht nicht schmälern,
aber zum Verständnis anbei ein paar kleine Bemerkungen:
Wenn du das rein mechanisch beweisen wolltest, dann müsstest
du für jeden erdenklichen Wert X den links und rechtsseitigen
Grenzwert bilden.
Es reicht aus einen beliebigen Wert X (repraesentativ fuer alle Werte) zu betrachten.
Doch hier kann man sofort behaupten, dass
diese Funktion stetig ist, ohne viel zu beweisen zu müssen, da
alle FUnktionen erstmal stetig sind, es gibt nur wenige
Ausnahmen, wo man prüfen muss:
So einfach geht es normalerweise nicht: Es gibt unendlich viele Ausnahmen. Man kann aus denen in Hausaufgaben vorkommenden stetigen Funktionen nicht auf die tatsächliche Anzahl nicht-stetiger Funktionen schliessen.
oder signum Funktionen, die können garnicht stetig sein
f(x):=signum(2) ist stetig
Gruss Frank 
Danke Euch beiden! Jetzt ist es mir klar!