Hallo!
Vielleicht kann mir jemand schnell was erklären?
Gegeben sei eine Urne mit x Kugeln. Jede Kugel ist mit einer Zahl von 1 bis x beschriftet. Ich ziehe eine Kugel raus, notiere mir die darauf stehende Zahl und werfe sie in die Urne zurück.
Wie oft muss ich durchschnittlich ziehen, bis ich jede Kugel mindestens einmal gezogen habe.
Für x = 2 vermute ich, dass der Schnitt bei drei Versuchen liegt. Wie hoch ist er aber bei x = 5 oder 10?
Vielen Dank für alle Mühungen
N. Schlereth
Hallo,
Vielleicht kann mir jemand schnell was erklären?
Mal sehen, vielleicht weiss auch jemand was Einfacheres.
Gegeben sei eine Urne mit x Kugeln. Jede Kugel ist mit einer
Zahl von 1 bis x beschriftet. Ich ziehe eine Kugel raus,
notiere mir die darauf stehende Zahl und werfe sie in die Urne
zurück.Wie oft muss ich durchschnittlich ziehen, bis ich jede Kugel
mindestens einmal gezogen habe.
Stichwort: „Negative Multinomialverteilung“
„Multinomial“, weil x verschiedene Kugeln, und
„Negativ“, weil nach der Anzahl Ziehungen gesucht ist.
Meines Erachtens ist der allgemeine Fall nicht mit vertretbarem Aufwand analytisch berechenbar. „Zu Fuss“ geht es, aber nur für sehr kleine x.
Mit Simulationsmethoden kann die Lage wieder aussichtsreicher erscheinen.
Gruss,
Thomas
Hallo,
ich hab mir zu deinem Problem mal ein paar gedanken gemacht (ohne Garantie)
also dein Beispiel mit 2 kugeln läuft ja wie folgt ab
im 1. Schritt ziehst du kugel nummer eins oder kugel nummer 2
im 2. Schritt ziehst du kugel nummer eins oder kugel nummer 2 usw
1 2
1 2 1 2 2 Fälle fertig nach der 2. Runde
1 2 1 2 2 Fälle fertig nach der 3. Runde
1 2 1 2 2 Fälle fertig nach der 4. Runde
das Problem ist jetzt du kannst das beliebig lange fortsetzten!
Also schauen wir uns mal an wie wahrscheinlich das alles so ist.
mit 1/4 \* 2 (2Fälle) wird man in der 2. Runde fertig.
mit 1/8 \* 2 (2Fälle) wird man in der 3. Runde fertig.
...
Also (mit umständlicher Schreibweise)
(1/2)^2 \*2 \*2 + (1/2)^3 \*2\*3 + .....
=SUMME(i=2 bis unendlich) (1/2)^i \*2\*i j=i-1
=SUMME(j=1 bis unendlich) (1/2)^j \*(j+1)
und diese unendliche Summe wäre dein Schnitt im 2er Beispiel. Ich hoffe das war ein Denkanstoß für dich, viel Spaß beim weiterknobeln 
Tranquilla
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Für x = 2 vermute ich, dass der Schnitt bei drei Versuchen
liegt.
Und mit 3 hast du recht (hab die Summe bis 100 berechnet und es kommt 3 raus, danach gäbs nur noch änerungen im 10^-29 bereich )
Danke für die Bestätigung. Ich habe mir zwischenzeitlich auch weitere Gedanken gemacht und glaube, dass wenn x die Anzahl der Kugeln ist, im Schnitt folgende Versuchsreihen erforderlich sind…
x=2, durchschnittlich 3 Ziehungen
x=3, durchschnittlich 6 Ziehungen
x=4, durchschnittlich 10 Ziehungen
x=5, durchschnittlich 15 Ziehungen
x=6, durchschnittlich 21 Ziehungen
Für x=6 lässt sich mit einem 6er-Würfel leicht eine Versuchsreihe machen. Man müsste also im Schnitt 21 x würfeln, wenn man alle 6 Zahlen mindestens einmal sehen will. …
Wie das weiter geht, sieht man schon…
Es gilt dann wohl folgende Formel:
x= Anzahl der Kugeln
Z= Durchschnittliche Zahl der Ziehungen
Z = x * (x+1) / 2
Wie gesagt, das ist meine Vermutung. Beweisen kann ich das nicht.
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