Stochastik

Wissenschaft Mathematik
#1

Aufgabe
Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen, berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass Fall 1: genau 1 Würfel eine drei zeigt und die Wahrscheinlichkeit, dass Fall 2: die Differenz der Augenzahlen 3 beträgt.

Max bietet folgendes Spiel an: es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen. Stimmen beide Augenzahlen überein, dann erhält der Mitspieler 12 Spielchips von Max. im anderen Fall muss der Mitspieler Max so viele Chips geben, wie die Differenz der Augenzahlen beträgt. Die Zufalssvariable x wird definiert durch die Anzahl der Chips, die Max erhält. Ist das Spiel für Max günstig

hey,
kann mir bitte jemand erklären, wie ich hier auf die Ergebnisse komm?ich versteh nicht, warum ich bei Fall 1 (1/5)*(1/6)+(1/5)*(1/6) rechnen muss.

bei der zweiten Aufgabe mach ich ne tabelle mit den Differenzen 0 bis 5
aber hier hab ich probleme wie ich auf die Wahrscheinlichkeiten komme. bei der Differenz 2 steht in der Musterlösung 2*(1/6)*(4/6). why?? bei differenz 2 sind es ja die kombinationen :
13,31
24,42
35,53
46,64
kann ich denn annehmen es heißt 2* weil es für das eine Paar 2 Möglichkeiten gibt also 13,31
und es heißt (1/6) weil man eben von einer Zahl ausgeht
und warum (4/6) weil es 4 mal ist also 13,24,35,64
??? bestimmt nicht oder?

ich brauche bitte dringend hilfe
DANKE
nellychen

#2

Hi, Nellychen!
Bist du sicher, dass die Lösung zu Fall 1 stimmt?
Meines Erachtents müsste die Wahrcheinlichkeit doch 2*(1/6)*(5/6) sein, denn eine 3 (eine Zahl von sechs möglichen) wird mit fünf anderen möglichen kombiniert. Das ganze gibt es zwei Mal, weil jede Kombination auch vertauscht vorkommen kann. Insgesamt sind das 10 von 36 Möglichkeiten - und nicht zwei von 30 wie bei dir!
In dem anderen Fall steht die 2 tatsächlich wieder für das Vertauschen der beiden Würfel, die beiden Brüche sind ziemlich kompliziert ausgedrückt: Es gibt vier erste Ziffern, zu denen jeweils genau eine zweite Ziffer gehört, die die Differenz 2 hat. Die Lösung 2*(1/6)*(4/6)=8/36 stimmt ja offenbar, wie du an deiner Aufzählung aller acht möglichen Kombinationen sedhen kannst.
Herzliche Grüße
Brandy

#3

Hallo,

wenn Du einfach 6×6-Tabellen machst, in denen Du die günstigen Fälle ankreuzt, löst sich die Sache in Wohlgefallen auf.

Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen, berechnen sie
die Wahrscheinlichkeit, dass Fall 1: genau 1 Würfel eine drei zeigt

 | 1 2 3 4 5 6
--+------------------------
1 | - - x - - -
2 | - - x - - -
3 | x x - x x x 
4 | - - x - - -
5 | - - x - - -
6 | - - x - - -

6 · 6 = 36 Tabellenzellen, darin 10 Kreuze ⇒ p = 10/36 = 5/18 = 0.2777

und die Wahrscheinlichkeit, dass Fall 2: die Differenz
der Augenzahlen 3 beträgt.

 | 1 2 3 4 5 6
--+------------------------
1 | - - - x - -
2 | - - - - x -
3 | - - - - - x
4 | x - - - - -
5 | - x - - - -
6 | - - x - - -

…, darin 6 Kreuze ⇒ p = 6/36 = 1/6 = 0.1666

Max bietet folgendes Spiel an: es werden gleichzeitig zwei
Würfel geworfen. Stimmen beide Augenzahlen überein, dann
erhält der Mitspieler 12 Spielchips von Max. im anderen Fall
muss der Mitspieler Max so viele Chips geben, wie die
Differenz der Augenzahlen beträgt. Die Zufalssvariable x wird
definiert durch die Anzahl der Chips, die Max erhält. Ist das
Spiel für Max günstig

Hier muss der Erwartungswert der Zufallsgröße x berechnet werden.

 | 1 2 3 4 5 6
--+------------------------------
1 | -12 +1 +2 +3 +4 +5
2 | +1 -12 +1 +2 +3 +4
3 | +2 +1 -12 +1 +2 +3
4 | +3 +2 +1 -12 +1 +2
5 | +4 +3 +2 +1 -12 +1
6 | +5 +4 +3 +2 +1 -12

= ∑i pi xi = –12/36 + 1/36 + 2/36 + … (36 Summanden) = … = 10/36 = 5/18 = 0.2777

Da der Erwartungswert der Zufallsgröße x = „Auszahlung an Max“ positiv ist, ist das Spiel für Max günstig; genauer: er gewinnt pro Runde im Mittel 0.2777 Chips.

Gruß
Martin