Hallo Experten !
Ich stehe vor einem Problem bei dem meine Stochastikkenntnisse an ihre Grenzen gelangen.
Wenn man n natürliche Zahlen hat, wie kann man dann die Wahrscheinlichket berechnen mit der eine zufällig gewählte Primzahl p alle diese n Zahlen teilt ?
Weiß jemand wie man das ausrechnen oder wenigstens abschätzen kann, das wär super.
Grüße
hendrik
Hey Hendrik,
Wenn man n natürliche Zahlen hat, wie kann man dann die
Wahrscheinlichket berechnen mit der eine zufällig gewählte
Primzahl p alle diese n Zahlen teilt?
Alle Zahlen geht schon mal nicht, oder? 
Lautet die Frage nicht eher, wieviele Zahlen, die zufällig gezogene Primzahl p teilt?
Mein Lösungsansatz wäre dabei, dass man alle Vielfachen von p ausrechnet, sprich einfach
\frac{n}{p} = b
Nun weiß man, wie viele Vielfachen von p in n liegen und dann wäre die Wahrscheinlichkeit einfach
\frac{b}{n}
Vllt mal an einem Beispiel:
n=10
p=3
Dann wäre b=3(Kommazahlen ignorieren wir) und die Wahrscheinlichkeit also 30%.
3 teilt also 30% der Zahlen von 1-10.
Was denkst du?
Gruß René
Hi Hendrik,
sei x_1,…,x_n \in \mathbb{N} und x_m:=min{x_1,…,x_n} sowie p \in \mathbb{N} . Ferner sei x_{(i)}:= {k\in \mathbb{N}: k;ist;prim \wedge k|x_i} die Menge der Primteiler von x_i und C:=\bigcap_{i}{x_{(i)}} .
Dann ist P(p|x_1,…,p|x_n \wedge p; ist; prim) = 0 \leftrightarrow C = \emptyset \vee p>x_m
Also gilt P(p|x_1,…,p|x_n \wedge p; ist; prim) = P(p\leq m)*P(C\neq \emptyset)*P(p\in C).
für die ersten beiden fällt mir keine vernünftige Abschätzung ein, aber für P(p\in C) gilt:
P(p\in C) = \frac{|C|}{m} \leq \frac{|x_m|}{m} \leq \frac{\frac{m}{ln(m)}}{m} = \frac{1}{ln(m)} .
Grüße,
JPL
Hi !
Vielen Dank für die Antworten !
Ich fürchte ich habe meine Frage falsch gestellt. Die n natürlichen Zahlen sind nicht bekannt.
Man wählt also sozusagen zufällig n natürliche Zahlen und eine Primzahl p. Und man möchte die Wahrscheinlichkeit wissen, dass p alle n Zahlen teilt.
Ich könnte mir auch vorstellen, dass das gar nicht mit einfachen Mitteln zu berechnen ist.
hendrik
Moin,
wir haben eine Primzahl p und n natürliche Zahlen.
p teilt jede p-te natürliche Zahl, also 1/p aller natürlichen Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass p n zufällig gewählte natürliche Zahlen teilt, ist dann (1/p)^n.
Beispiel:
p=7 , n=3 : 7 teilt jede 7. natürliche Zahl, also ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Treffer (1/7) .
Für 3 Treffer liegt diese dann bei (1/7)^3=1/343=29,15%
Hoffe, ich habe keinen Fehler gemacht, glaub ich auch kaum.
Liebe Grüße
DaChwa
Moin,
wir haben eine Primzahl p und n natürliche Zahlen.p teilt jede p-te natürliche Zahl, also 1/p aller natürlichen
Zahlen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass p n zufällig gewählte natürliche
Zahlen teilt, ist dann (1/p)^n.
Das war ein super Tip, danke dir !
Grüße
hendrik