Ich habe ein Problem mit Stochastik und zwar ist mir der Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvarialbe nicht ganz klar. Nach Definition ist eine Zufallsvariable ja eine messbare Funktion, die von einem Wahrscheinlichkeitsraum H in einen messbaren Raum J abbildet. Diesen messbaren Raum kann man dann ja wieder zu einem Wahrscheinlichkeitsraum machen, indem man dort eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Px durch die Zufallsvariable induziert. Soweit so gut.
Was mich jetzt verwirrt ist der Begriff der „Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen“. Dieser soll die Wahrscheinlichkeit angeben mit der die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Kurz: P(X=k) (das P bezeichnet hierbei eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf J)
Dazu braucht man aber doch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im Zielraum J der Zufallsvariable.
Nimmt man dort als Wahrscheinlichkeitsverteilung aber die von der Zufallsvariable induzierten Wahrscheinlichkeitsvrteilung Px so kommt man doch wieder am Ursprungsraum heraus (also in H), denn es gilt:
Px(X=k)=P({a € H|X=(a)=k)(wobei hier P die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ursprungsraum H) Wozu also dieser ganze Aufstand mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, wenn man diesen doch auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung in H zurückführen kann. Im übrigen: Könnte es nicht sein, dass diese Verteilung von der Wahl der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zielraums J abhängt, also nicht eindeutig ist? Wenn ja dann wäre das ja ein ziemlich blöder Begriff… Ich glaube ich habe bei der ganzen Sache etwas noch nicht verstanden. Wer kann mir helfen?
Ich habe ein Problem mit Stochastik und zwar ist mir der
Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsvarialbe nicht ganz klar. Nach Definition ist eine
Zufallsvariable ja eine messbare Funktion, die von einem
Wahrscheinlichkeitsraum H in einen messbaren Raum J abbildet.
Diesen messbaren Raum kann man dann ja wieder zu einem
Wahrscheinlichkeitsraum machen, indem man dort eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung Px durch die Zufallsvariable
induziert. Soweit so gut.
Stimmt.
Was mich jetzt verwirrt ist der Begriff der
„Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen“. Dieser
soll die Wahrscheinlichkeit angeben mit der die
Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Kurz: P(X=k)
(das P bezeichnet hierbei eine beliebige
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf J)
Stimmt auch.
Dazu braucht man aber doch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
im Zielraum J der Zufallsvariable.
Nimmt man dort als Wahrscheinlichkeitsverteilung aber die von
der Zufallsvariable induzierten Wahrscheinlichkeitsvrteilung
Px so kommt man doch wieder am Ursprungsraum heraus (also in
H), denn es gilt:
Px(X=k)=P({a € H|X=(a)=k)(wobei hier P die
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ursprungsraum H) Wozu also
dieser ganze Aufstand mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariablen, wenn man diesen doch auf die
Wahrscheinlichkeitsverteilung in H zurückführen kann. Im
übrigen: Könnte es nicht sein, dass diese Verteilung von der
Wahl der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zielraums J
abhängt, also nicht eindeutig ist? Wenn ja dann wäre das ja
ein ziemlich blöder Begriff… Ich glaube ich habe bei der
ganzen Sache etwas noch nicht verstanden. Wer kann mir helfen?
Man kann das Ganze auch pragmatisch angehen und alle Theorie grau sein lassen. In der Prasxis nimmt man sich dann z.B. einen Würfel mit 6 Seiten und modelliert dessen Ergebnisse von {1,…,6]. Die Wahrscheinlichkeit einer Seite beträgt im Idealfall 1/6, was einer Gleichverteilung entspricht. Merke ausserdem: eine Verteilungsfunktion ist immer die Stammfunktion einer Dichtefunktion. Oder die Werte der Dichtefunktion bis zur Stelle x ergeben kumuliert die Werte der Verteilungsfunktion bis zur Stelle x.
Jetzt rechnen wir am Würfel weiter: P(1)=1/6, P(2)=1/6 usw
P(x>3) = P(4)+P(5)+P(6) = 3* 1/6 = 1/2
P(x
Ich habe ein Problem mit Stochastik und zwar ist mir der
Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer
Zufallsvarialbe nicht ganz klar. Nach Definition ist eine
Zufallsvariable ja eine messbare Funktion, die von einem
Wahrscheinlichkeitsraum H in einen messbaren Raum J abbildet.
Diesen messbaren Raum kann man dann ja wieder zu einem
Wahrscheinlichkeitsraum machen, indem man dort eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung Px durch die Zufallsvariable
induziert. Soweit so gut.
Was mich jetzt verwirrt ist der Begriff der
„Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen“. Dieser
soll die Wahrscheinlichkeit angeben mit der die
Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt. Kurz: P(X=k)
(das P bezeichnet hierbei eine beliebige
Wahrscheinlichkeitsverteilung auf J)
Dazu braucht man aber doch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
im Zielraum J der Zufallsvariable.
Nimmt man dort als Wahrscheinlichkeitsverteilung aber die von
der Zufallsvariable induzierten Wahrscheinlichkeitsvrteilung
Px so kommt man doch wieder am Ursprungsraum heraus (also in
H), denn es gilt:
Px(X=k)=P({a € H|X=(a)=k)(wobei hier P die
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ursprungsraum H) Wozu also
dieser ganze Aufstand mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer Zufallsvariablen, wenn man diesen doch auf die
Wahrscheinlichkeitsverteilung in H zurückführen kann.
Die W.-Verteilung einer J-wertigen Zufallsfunktion f auf H und die induzierte W.-Verteilung auf J sind quasi ein- und dasselbe.
Das heißt aber nicht, daß man grundsätzlich auf eine induzierte W.-Verteilung angewiesen ist, um auf J eine W.-Verteilung zu definieren.
Ist f bekannt, ist ja auch das induzierte Maß bekannt, letztendlich interessiert f ab diesem Zeitpunkt nicht mehr. Das induzierte Maß hätte so auch ohne Induktion definiert werden können.
Im
übrigen: Könnte es nicht sein, dass diese Verteilung von der
Wahl der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zielraums J
abhängt, also nicht eindeutig ist?
Nein: die W.-Verteilung des Zielraums J wird ja erst durch die Zufallsfunktion induziert, sprich definiert. Also ist sie eindeutig.
Wenn ja dann wäre das ja
ein ziemlich blöder Begriff… Ich glaube ich habe bei der
ganzen Sache etwas noch nicht verstanden. Wer kann mir helfen?
Hi,
Erstmal Danke für das Beispiel, ich werde das zusammen mit dem was im anderen Post geschrieben nochmal durchgehen. So ganz isses mir noch ned ganz klar
