Stochastik-Aufgabe zum AIDS-Test

[Dangermouse_d58c29]

Hallo.

Ich schreibe am Montag eine Mathe-Klausur und wie das manche Lehrer gerne so zu machen scheinen, geben sie einem in der Stunde davor noch Aufgaben zum Rechnen, die viel schwerer sind als alles, was man davor gerechnet hat …

Eigentlich bin ich ganz git in Stochastik, aber ich habe hier eine Aufgabe, da weiss weder ich, noch mein Vater weiter, es wäre schön, wenn mir jemand einen kleinen Anstoß geben könnte. Aufgepasst …:

_____________

In der Gesamtbevölkerung beträgt der Anteil der HIV-Infizierten etwa 0,2%, in Risikogruppen liegt er bei etwa 10%.
Es gibt mehrere Arten von HIV-Tests. Ein empfindlicher Test ergibt bei einem Infizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% ein positives Ergebnis, bei einem Nichtinfizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 3%.
Ein unempfindlicher Test ergibt bei einem Infizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 87% ein positives Ergebnis, bei einem Nichtinfizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03%.

2. Es wird ein empfindlicher Test durchgeführt. Das Ergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die untersuchte Person tatsächlich HIV-infiziert ist, wenn sie

(I) zufällig aus der Bevölkerung ausgewählt wurde.
(II) zu einer Risikogruppe gehört.

_____________

Natürlich haben wir uns da schon Gedanken drüber gemacht und im Moment vermute ich, dass es doch eigentlich total egal ist, ob der getestete Mensch aus einer Risikogruppe kommt oder nicht?! Im Grunde ist doch nur wichtig, was der Test am Ende sagt, und der macht doch keinen Unterschied zwischen den Menschen.

Erst dachte ich, man könnte es wie folgt ausrechnen:

Reicht es hier einfach wie folgt zu rechnen…?

p = (1 über 1) * 0,002^1 * (1 - 0,002) ^0

Aber es ist ja abzusehen, dass man da einfach 0,002 herausbekommt.

Muss ich jetzt nun irgendwie diese 99% bzw. die 3% verwenden? Wenn ja, wie denn? Ich habe ja dann prakitsch zwei p’s mit denen ich arbeiten muss, was ich aber noch nie gemacht habe.

Es wäre klasse, wenn mir jemand helfen könnte, am besten noch vor Sonntag abend aber wenn es später wird, freut mich auch, ärgert mich schon, dass ich so auf dem Schlauch stehe.

Vielen lieben Dank!

[anon69269347]

Hier eine Kurzlösung (nur für den ersten Test und die Gesamtbevölkerung):
Zunächst seien folgende Ereignisse definiert:
A: Eine Person ist erkrankt
Ä: Eine Person ist nicht erkrankt (A quer)
B: Der Test ist Positiv
Dann ist P(A)=0,002 (direkt aus der Aufgabgenstellung)
P(B) ist nicht angegeben, sondern

P(B|A)=0,99 und
P(B|Ä)=0,03

Dann ist nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit

P(B)=P(B|A)\*P(A)+P(B|Ä)\*P(Ä)
=0,99\*0,002+0,03\*0,998
=0,032

(Hoffe hab mich nicht vertippt)
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test Positiv ausfällt.
Gesucht ist nun:

P(A|B)=P(A und B)/P(B)
=P(B|A)\*P(A)/P(B)
=0,99\*0,002/0,032
=0,062

Du wirst feststellen, dass es durchaus einen Unterschied macht, ob man die Person aus einer Risikogruppe wählt oder nicht.

Ich hoffe, ich konnte weiterhelfen.

Gruß Yelmalio

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

[Stefan_a18aa0]

Hallo!

(Die echten Tests sind übrigens ELISA und WesternBlot. WesternBlot ist selten falsch positiv, aber auch sehr ufwändig im Vergleich zu ELISA)

Es ist nicht egal, ob man in einer Risikogruppe ist oder nicht.

Ich hab mal eine ähnliche Aufgabe gerechnet. Bei uns war man mit P=12% infiziert bei einem ersten Positivtest und in Eritrea war es irgendwie 90% oder so.

Du musst es mit dem Satz von Baytes (oder so ähnlich) errechnen. Mach Dir ne Vierfeldertafel: Krank-NichtKrank und Test Positiv oder nicht.

Stell es dir so vor: In Eritrea sind vielleicht 20% der Leute infiziert. (Geraten)

Bei Tausend Tests gibt es etwa 200 Positivgeteste. Die sind auch fast alle wirklich infiziert und deshalb ist ein Positivtest in Eritrea fast ein Todesurteil.

Bei uns kriegt man bei Tausend Probanden veilleicht 50 Positive, von denen aber nur etwa 2 krank sind. Der Rest ist falsch positiv. Deshalb ist ein Positivtest bei uns nicht so schlimm. Das ist das Modell der bedingten W’keiten.

Wie ich grad sehe, war jemand schneller… *schnüff*

Stefan

[michael_f7f5bc]

hi,

du kannst das auch mit stochastischen baumstrukturen lösen.

fall 1, allg.

 .
 0,002 0,998
 krank n.krank
 0,99 0,01 0,03 0,97
 pos. neg. pos. neg.
 + - + -
 0,00198 0,00002 0,02994 0,96806

(du weißt: über die pfade so eines baums werden wahrscheinlichkeiten mulripliziert. ???)

die wsk., dass bei vorliegen eines positiven tests die person tatsächlich hiv-positiv ist, ist in bezug auf die gesamtbevölkerung also 0,00198 / (0,00198 + 002994) = 0,06203 = 6,2 %

allg.:
wenn p1 die wsk für krankheit ist (hier auzuspalten in einmal für den allgemeinen fall, einmal für den fall risikogruppe), p2 die wsk für einen pos. test bei krankheit und p3 die wsk. für einen pos. test bei nicht-krankheit, dann ist (p1 * p2) / (p1 * p2 + (1-p1) * p3) die wsk. für krankheit bei vorliegen eines positiven tests.

das liefert für den spziellen fall der risikogruppe das diagramm

 .
 0,1 0,9
 krank n.krank
 0,99 0,01 0,03 0,97
 pos. neg. pos. neg.
 + - + -
 0,099 0,001 0,027 0,873

und eine wsk. von 0,78571 = 78,6 % dass bei vorliegen eines pos. test krankheit gegeben ist.

---

In der Gesamtbevölkerung beträgt der Anteil der
HIV-Infizierten etwa 0,2%, in Risikogruppen liegt er bei etwa
10%.
Es gibt mehrere Arten von HIV-Tests. Ein empfindlicher Test
ergibt bei einem Infizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von
99% ein positives Ergebnis, bei einem Nichtinfizierten mit
einer Wahrscheinlichkeit von 3%.
Ein unempfindlicher Test ergibt bei einem Infizierten mit
einer Wahrscheinlichkeit von 87% ein positives Ergebnis, bei
einem Nichtinfizierten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,03%.

2. Es wird ein empfindlicher Test durchgeführt. Das Ergebnis
   ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die
   untersuchte Person tatsächlich HIV-infiziert ist, wenn sie

(I) zufällig aus der Bevölkerung ausgewählt wurde.
(II) zu einer Risikogruppe gehört.

_____________

Natürlich haben wir uns da schon Gedanken drüber gemacht und
im Moment vermute ich, dass es doch eigentlich total egal ist,
ob der getestete Mensch aus einer Risikogruppe kommt oder
nicht?! Im Grunde ist doch nur wichtig, was der Test am Ende
sagt, und der macht doch keinen Unterschied zwischen den
Menschen.

auch anschaulich müsste das obige ergebnis erklärbar sein. ich versuchs mal so:

im allgemeinen fall gibt es eine (relativ) riesengroße gruppe nicht-erkrankter, die trotzdem (wegen ihrer größe) eine erkleckliche zahl positiver tests erzeugt. die (sehr) kleine gruppe erkrankter liefert mit sehr hoher wsk. auch positive tests; aber die wsk. erkrankt zu sein ist immer noch rel. gering, da die rel. vielen positiven tests der sehr kleinen gruppe gegenüber den rel. wenigen positiven tests der sehr großen gruppe immer noch nur rel. wenige sind.

im risikofall sind die gruppen der erkrankten und nicht-erkrankten vergleichbar groß. ein positiver test sagt dann viel mehr über das vorliegen von krankheit aus.

das ergebnis entspricht auch allgemeinder welterfahrung; hier noch ein anderes beispiel: stell dir vor, dir fehlt ein gegenstand (= positiver test). er könnte gestohlen sein (= krankheit) oder verloren (= nicht-krankheit).
wenn du dich unter dieben befindest („risikogruppe“), wirst du weit eher auf diebstahl tippen als wenn du dich unter im wesentlichen ehrlichen leuten befindest.

hth
m.

[Dangermouse_d58c29]

Hey, super …!

Habe zwar noch nicht alles genau verstanden, aber mein Vater der erklärt es mir dann nachher, er ist ganz begeistert von so kompetenter Hilfe …

Vielen lieben Dank an euch!
Liebe Grüße