habe da mal eine frage…
angenommen ein experiment mit der erfolgswahrscheinlichkeit p wird n mal unabhängig durchgeführt- die anzahl der erfolge ist eine zufallsgröße N mit
Ws_p(N=k)=(n über k)p^k*(1-p)^(n-k) für k= 0,1,…,n.
a)man soll das p berechnen, für welches die wahrscheinlichkeit(für festes k) maximal ist.
b) und gibt es eindeutig bestimmtes k, für welches diese wahrscheinlichkeit(für festes p) maximal ist?
danke
Hi Nadine,
sieht schon sehr nach Hausaufgabe aus…
angenommen ein experiment mit der erfolgswahrscheinlichkeit p
wird n mal unabhängig durchgeführt- die anzahl der erfolge ist
eine zufallsgröße N mitWs_p(N=k)=(n über k)p^k*(1-p)^(n-k) für k= 0,1,…,n.
a)man soll das p berechnen, für welches die
wahrscheinlichkeit(für festes k) maximal ist.
Stichwort: ML-(Maximum-Likelihood)-Schätzer bei Binomialverteilung (falls du googlest). Betrachte Ws_p(k) als Funktion von p, logarithmieren (das ist der Trick, dann geht’s ganz einfach), nach p ableiten und nullsetzen.
b) und gibt es eindeutig bestimmtes k, für welches diese
wahrscheinlichkeit(für festes p) maximal ist?
Jein. Nicht für jedes n und p (z.B. n=3, p=1/2). Beweis bleibt dir überlassen (Hinweis: Bestimme den ML-Schätzer für p und stelle nach k um, wobei k ganzzahlig sein muss).
Gruß
Katharina
hi,
zu a) wenn ichs recht versteh, gelten n und k zunächst als konstant.
dann …
angenommen ein experiment mit der erfolgswahrscheinlichkeit p
wird n mal unabhängig durchgeführt- die anzahl der erfolge ist
eine zufallsgröße N mitWs_p(N=k)=(n über k)p^k*(1-p)^(n-k) für k= 0,1,…,n.
a)man soll das p berechnen, für welches die
wahrscheinlichkeit(für festes k) maximal ist.
dW/dp = (n über k) . (k . p^(k-1) . (1-p)^(n-k) + p^k . (n-k) . (1-p)^(n-k-1) . (-1))
(nach produktregel fürs differenzieren und mit anwendung der kettenregel im zweiten summanden … innere ableitung von (1-p) ist (-1)
das gleich 0 setzen für ermittlung des maximums … du kannst den konstanten faktor (n über k) vergessen:
k . p^(k-1) . (1-p)^(n-k) + p^k . (n-k) . (1-p)^(n-k-1) . (-1) = 0
bzw.
k . p^(k-1) . (1-p)^(n-k) = p^k . (n-k) . (1-p)^(n-k-1)
da kannst du jetzt einiges rauskürzen; es bleibt über:
k . (1-p) = (n-k) . p
oder p = k/n
w.z.e.w. (= was zu erwarten war)
b) und gibt es eindeutig bestimmtes k, für welches diese
wahrscheinlichkeit(für festes p) maximal ist?
das versteh ich einstweilen noch nicht. was ist jetzt konstant? und was ist „diese“ wahrscheinlichkeit?
aufs k kannst du jedenfalls keine differentialrechnung anwenden, denn die k’s sind ja diskret, bilden kein kontinuum.
wenns eine frage an dein stochastisches wissen ist: nein. für ein kosntantes p hängt das k mit der größten wahrscheinlichkeit natürlich vom n ab.
bei p = 0,1 z.b. ist das kmax =2 bei n=20 und =3 bei n=30.
man könnte das jedenfalls an konkreten werten der binomialverteilung zeigen.
die binomialverteilung ist übrigens in einer tabellenkalkulation relativ leicht zu zeichnen und zu berechnen. gibt eigene funktionen dafür. (hatten wir hier vor kurzem. oder wars beim forum tabellenkalkulation?)
hth
m.