Stochastik: Erwartungswert, Standardabweichung

Daniel_Kussin · 12. September 2006 um 06:24

… und ein- / zweiseitiger Signifikanztest

Guten Morgen Forummitglieder

Also ich hab heute folgende Frage, und zwar war ich gestern bei einer Nachhilfeschülerin, und die behandeln momentan die Stochastik (13. Jahrgang), alles eigentlich kein Problem, aber irgendwie nutzt der Lehrer immer irgendwelche Formeln, die mir völlig unbekannt sind, und dass merkwürdige ist, die Formeln sind nicht nur mir unbekannt, sondern auch allen Mathematikbüchern, die ich habe.
Deswegen hoffe ich, dass mir von euch vielleicht einer helfen kann!?

Als erstes das genannte Problem mit den Formel, und zwar nutzt er andere Formeln zur Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung, als ich sie kenn’, und bis jetzt konnte ich auch keine richtige Verbindung erkennen.

Siehe Formeln: http://nachhilfe.kussin.de/images/Erwartungswert-Sta…

Beispiel:

„Berechne den Erwartungswert beim Würfeln mit einem Standardwürfel (Hexaeder)“

Meine Lösung: E(X) = 3,5
Seine Lösung: E(X) = 16,66666666667

Und nun kommt noch etwas, von dem ich noch gar nichts gehört habe, und zwar vom ein- / zweiseitigen Signifikanztests.
Hierbei soll man wohl eine Art Standardabweichung (1% bzw. 5%) vom Normalniveau abweichen. Allerdings ist die Herleitung der Lösung für mich noch völlig unschlüssig, denn man soll die Lösung aus einer Binominalverteilungstabelle ablesen, je nach Richtung (über / unter) weicht untere Lösung immer um 1 ab.
Vielleicht gibt es hier ja jemanden, der damit schon Erfahrung hat, und mir etwas helfen kann.

Ansonten wünsch ich euch noch einen schönen Tag, und rechtherzlichen Dank, auch wenn der Eine oder Andere mir nicht helfen konnte, aber sich wenigstens die Mühe gemacht hat alles zu lesen.

Gruß Daniel

M_L_ · 12. September 2006 um 09:00

… und ein- / zweiseitiger Signifikanztest

Auch guten Morgen.

aber
irgendwie nutzt der Lehrer immer irgendwelche Formeln, die mir
völlig unbekannt sind, und dass merkwürdige ist, die Formeln
sind nicht nur mir unbekannt, sondern auch allen
Mathematikbüchern, die ich habe.

Die Formeln sind zwar ungewöhnlich, aber deswegen nicht falsch.

Siehe Formeln:
http://nachhilfe.kussin.de/images/Erwartungswert-Sta…

Die letzten zwei stammen von einer Binomialverteilung (nix mit Versicherungsmathematik oder Risikotheorie…)
Bekannter wäre: E(X)= n * nü und Sigma(X)=Wurzel(n*p*(1-p))

Beispiel:

„Berechne den Erwartungswert beim Würfeln mit einem
Standardwürfel (Hexaeder)“

…also ein ganz normaler Würfel

Meine Lösung: E(X) = 3,5

Seine Lösung: E(X) = 16,66666666667

^^ Wurde das vom Lehrer mal vorgerechnet ?
Rechenweg: 1*1/6 + 2*1/6 + … * 6*1/6 = 21/6 = 3,5

Und nun kommt noch etwas, von dem ich noch gar nichts gehört
habe, und zwar vom ein- / zweiseitigen Signifikanztests.
Hierbei soll man wohl eine Art Standardabweichung (1% bzw. 5%)
vom Normalniveau abweichen.

Genauer: man errechnet ein Intervall in welchem die Vertrauenswerte für Erwartungswert und Std.abweichung liegen. Bei allem was ausserhalb liegt, kann die Hypothese H1, dass eine Stichprobe den genannten Parametern nicht genügt, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% (5%) nicht abgelehnt werden.

Allerdings ist die Herleitung der
Lösung für mich noch völlig unschlüssig, denn man soll die
Lösung aus einer Binominalverteilungstabelle ablesen, je nach
Richtung (über / unter) weicht untere Lösung immer um 1 ab.

Aufgabe ? Das Wichtigste wird aber die Berechnung des Quantils sein. Sowie das Erkennen, ob ein- oder zweiseitig getestet wird. Grundlegend ist die Formel für nü aber immer dieselbe wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzintervall

HTH
mfg M.L.

M_L_ · 12. September 2006 um 09:41

Bekannter wäre: E(X)= n * nü

-> E(X)=n*p Stdabw(X)=Wurzel(n*p*(1-p))

Jo1_a88223 · 12. September 2006 um 09:43

Morgen!

Die im Link angegebenen Formeln sind für die Binomialverteilung.

Grundsätzlich leiten sich die Formeln aus den Definitionen für E und V her:

E(X) = Summe_i(p_i*x_i)
V(X) = Summe_i(p_i*(x_i-µ)²)

Die Standardabweichung ist Wurzel(V(X)).

Hat man es mit einem Bernoulli-Experiment zu tun (also eine Serie von n Wiederholungen eines Experiments zwei möglichen Ausgängen, die mit den Wahrscheinlichkeiten p und (1-p) auftreten), dann kann man die Formeln von oben mit Hilfe der Kenntnis der Binomialverteilung vereinfachen. Wie genau, kannst Du zB. hier nachlesen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoulli-Versuch

Schließlich erhält man (für n Bernoulli-Versuche) folgende Formeln:

E(X) = n*p
V(X) = n*p*(1-p)

Beispiel:

„Berechne den Erwartungswert beim Würfeln mit einem
Standardwürfel (Hexaeder)“

Das ist KEIN Bernoulli-Experiment! Hier gibt es nicht nur 2 mögliche Ausgänge, sondern 6. Hier darf man die Formel E(X)=n*p NICHT anwenden. Deine Lösung ist also die richtige.

Etwas anderes ist es, wenn die Frage gewesen wäre:
„Was ist der Erwartungswert ‚ungerade Augenzahl‘ beim Würfeln mit 10 Würfeln“. Hier haldelt es sich um ein 10-stufiges Bernoulli-Expreiment mit p(ungerade Augenzahl)=0.5. Als Erwartungswert ergibt sich E(X)= 10*0.5 = 5. Ich kann im langfristigen Mittel also mit 5 Würfeln rechnen, die eine ungerade Augenzahl zeigen (was hoffentlich ja auch intuitiv klar ist).

Und nun kommt noch etwas, von dem ich noch gar nichts gehört
habe, und zwar vom ein- / zweiseitigen Signifikanztests.

Beim Signifikanztest berechnet man, wie wahrscheinlich es ist, unter der Nullhypothese (H0) ein Ergebnis zu bekommen, was mindestens „so extrem“ ist wie das beobachtete. Um die Falsch-Positiven-Rate (den Typ-I-Fehler oder alpha-Fehler) zu kontrollieren, verwirft man die Nullhypothese nur dann, wenn die W’keit eines mind. so extremen Ergebnisses unter H0 kleiner ist als eine vorgegebene Fehlerwahrscheinlichkeit.

Fangen wir mit einem EINSEITIGEN Beispiel an. Zielgröße der Ernteertrag von Kartoffeln. Getestet wird ein Düngemittel. Frage: ERHÖHT die Düngung den Ertrag? Die Nullhypothese ist: Der Dünger hat KEINEN Einfluß auf den Ertrag. Alternativhypothese (H1): Der Dünger ERHÖHT den Ertrag. Festlegen des akzeptierten Typ-I-Fehlers: Ich möchte bei nicht mehr als 1% derartiger Untersuchungen zu einem positiven Ergebnis („der Dünger erhöht den Ertrag“) kommen, obwohl der Dünger in Wirklichkeit nichts bringt. Also: alpha = 0.01.

Ich mache die Messungen, und berechne die Test-Statistik. Ist diese NEGATIV (der Dünger hätte den Betrag verringert) BLEIBE ich SOWIESO bei H0 (hier KANN ich kein falsch-positives Ergebnis bekommen!). Nur, wenn die Teststatistik positiv ist (Ertrag ist höher geworden), dann sehe ich nach, wie wahrscheinlich das unter H0 passieren kann („p-Wert“). Wenn dann p