nachdem das Geburtstagsparadoxon hier im Forum souverän gelöst wurde, hat mir aus hundsgemeiner Rache oder so mein Kneipenkollege eine diffizile neue Aufgabe gestellt, die mich ehrlich gesagt ein Stück überfordert:
Ein Kreis (k) wird durch eine zufällige Verbindungsstrecke zweier Punkte X und Y (beide auf k) geteilt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge der Strecke XY größer ist als die Seitenlänge des einbeschriebenen Dreiecks, dessen Winkel identisch groß sind?
Ich hätte mal gesagt, 1/3. Er schreibt ein gleichseitiges Dreieck in den Kreis ein. Dann könnte man die Frage der zwei zufällig (gleichverteilten?) Punkte aufgrund von Rotationssymmetrie usw wie folgt umformulieren:
Du nimmst den Stift, setzt irgendwo zufällig am Kreis an und malst ohne abzusetzen einen Kreisbogen bis zu einem anderem zufälligen Punkt. Also du erzeugst einen Kreisbogen zufälliger Länge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kreisbogen mehr als 120° aufspannt – denn dann wäre die Sehne des Bogens gerade die Seite des gleichseitigen Dreiecks. Aja, und natürlich darf er nicht größer als 240° werden…
Ist mir so spontan eingefallen wie ich deine Aufgabe gelesen habe. Vielleicht hab ich da was übersehn…
Allerdings kommt das auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion an, nach der die zufälligen Punkte auf k verteilt sind. Da nichts gesagt war, sollte man wohl von einer Gleichverteilung ausgehen.
Verteilt man zwei Punkte unabhängig gemäß einer Gelichverteilung auf dem Kreis, so sind die Winkel der durch beide Punkte gegebenen Radii gleichverteilt im Interval [0°;180°].
Die Radii durch die Punkte eines gleichseitigen einbeschriebenen Dreiecks spannen jeweils einen Winkel von 120° auf. Wenn immer also die Radii zweier zufällig gewählten Punkte auf k einen größeren Winkel aufspannen, ist die Sekante länger als die Dreiecksseite. Bei einer Gleichverteilung der Winkel im Interval [0°;180°] ist die Wahrscheinlichkeit dafür „Integral von x=120 bis 180 von (x/180) dx“ = 180/180 - 120/180 = (180-120)/180 = 60/180 = 1/3.
Aha, gleich formal angepackt! Jaja, Gleichverteilung, hab ich eh geschriebn, das wir halt von der mal ausgehen…
Bei einer Gleichverteilung der
Winkel im Interval [0°;180°] ist die Wahrscheinlichkeit dafür
„Integral von x=120 bis 180 von (x/180) dx“ = 180/180 -
120/180 = (180-120)/180 = 60/180 = 1/3.
Naja, will man das ganz formal korrekt aufziehen ist es nicht ganz so einfach. Zunächst ist die Stammfunktion von x/180 ja eigentlich x^2/360. Eigentlich bräuchtest du als zu integrierende Funktion die Indikatorfunktion für x>=120°, normiert mit 1/180. Dann geht es wieder gut.
Dann müsste man eigentlich zeigen, dass man getrost den ersten Punkt auf 0° annehmen kann und trotzdem alles gut geht - was sich in einer Invarianz des Integrals niederlegen müsste. Also genau genommen hätte man irgendwie soetwas:
1/2pi^2 \int_0^2pi \int_0^2pi 1(|x-y|>=2pi/3) dx dy
wobei hier „1(A) = 1, wenn A gilt, 0 sonst“ die Indikatorfunktion oder so darstellen soll. Und auch da muss man wieder aufpassen, weil etwa |0-350°|=10° sein soll, was wieder blöd zu formalisieren ist.
Man kanns drehen und wenden, formal korrekt ist es blöd zu fassen. Oder hat jemand eine schöne saubere Methode?
Man kanns drehen und wenden, formal korrekt ist es blöd zu fassen.
hmmm… also wenn zwei Punkte A und B von einem Zufallsgenerator auf einer Kreislinie (Radius R) platziert werden, dann schließen sie einen Winkel φ ∈ [0, 360°[ ein, und alle φ in diesem Intervall sind gleichwahrscheinlich.
Der Abstand zwischen A und B beträgt dAB = 2 R sin(φ/2). Die Seiten eines dem Kreis einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks sind l = √3 R lang.
Die Ungleichung dAB ≥ l führt auf sin(φ/2) ≥ 1/2 √3. Dies wird erfüllt für φ ∈ [120°, 240°], und dieses Intervall ist gerade 1/3 so breit wie [0, 360°[.
Nein, nein schon richtig. Aber nicht mehr oder weniger formaler als meine erste Antwort. Wo kommt hier die Wahrscheinlichkeitsdichte ins Spiel? Wo ist das Integral? Aber du hast mich auf eine Idee gebracht, mit der man das Problem, dass 0° und 350° eine Differenz von 10° haben, löst:
1/2pi^2 \int\_0^2pi \int\_0^2pi 1\_(sin((x-y)/2)\>sqrt(3)) dx dy
= 1/2pi^2 \int\_0^2pi pi/3 dy
= 1/2pi^2 pi/3 2pi
= 1/3
Deine Formulierung über den Sinus löst das Problem. Danke!
Auf Grund der Rotationssymetrie kann man sich auf einen Quadranten beschränken und fordern, dass die Sekante parallel zur y-Achese ist.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Sekante bei einem bestimmten x liegt, ist dx, -1 [Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Auf Grund der Rotationssymetrie kann man sich auf einen
Quadranten beschränken
Und was ist mit jenen Fällen, wo die zwei Punkte auf der
Kreislinie mehr als einen Vierteilkreis aufspannen? Wie haben
die in einem Quadranten platz?
Ich habe nur einen Punkt verwendet. Ich habe nicht behauptet, zwei Punkte würden etwas aufspannen.
Zwei Punkte definieren eine Sekante. Nachdem die Sekante definiert ist, wird das Koordinatensystem so gedreht, dass die Sekante parallel zur y-Achse liegt. Notfalls wird das Ganze nochmal an der neuen y-Achse gespiegelt, so dass die parallele Sekante bei 0
Weg, neue Antwort
Ich hoffe, hier entsteht jetzt kein Krieg.
In meiner 1. Antwort, parallel zu dieser, bin ich davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Sekante zu finden, die den Abstand x zum Mittelpunkt hat, „dx“ ist.
Setze ich aber die a priori Wahrscheinlichkeit mit 2*r*dr an, 0 cos(30grd)) = 3/4, l halbe Länge Sekante:
dW = 2*r*dr = 2*r(l)*r’(l)*dl
mit
r(l) = SQRT(1-l²)
folgt
W = 1 - Int(von 0 bis cos(30grd) über 2*l*dl)
= 1-sin²(30grd)
= 3/4
Das halte ich für Vernünftiger, da das Ergebnis dadurch dimensionsabhängiger (E²) wird.
Salute.
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Auch hier ist es doch so, dass die Gleichverteilung der Punkte erwünscht ist. Nicht die Gleichverteilung des Normalabstands der Sekante zum Mittelpunkt. Nebenbei: Wieso verwendest du „a priori“? Haben wir hier bedingte Wahrscheinlichkeiten?
Auch hier ist es doch so, dass die Gleichverteilung der Punkte
erwünscht ist. Nicht die Gleichverteilung des Normalabstands
der Sekante zum Mittelpunkt. Nebenbei: Wieso verwendest du „a
priori“? Haben wir hier bedingte Wahrscheinlichkeiten?
Aha, Gleichverteilung der Punkte. Das ist aber Definitionssache. Wenn es um Sekanten geht würde ich eher Gleichverteilung von Geraden, die auf einen Kreis fallen, annehmen.
Wenn ich mir die Aufgabenstellung anschaue
" … durch eine zufällige Verbindungsstrecke …"
würde ich sagen, die Verbindungsstrecken sind zufällig und nicht die Punkte, die sind die Schnittpunkte.
Verbindungsstrecken sind zufällig
Abstände und Orientierungen sind zufällig
Die Menge aller Abstände und Orientierungen ist durch die Menge aller
Aha, Gleichverteilung der Punkte. Das ist aber
Definitionssache. Wenn es um Sekanten geht würde ich eher
Gleichverteilung von Geraden, die auf einen Kreis fallen,
annehmen.
Hui, jetzt geht der Thread schon so lange, dass ich glatt nochmal nachlesen musste. Und da steht:
Ein Kreis (k) wird durch eine zufällige Verbindungsstrecke zweier Punkte X und Y (beide auf k) geteilt.
Da haben wir ein Problem, das stimmt. Einerseits liegt nach meinem Auffassen der Fokus in diesem Satz auf die beiden Punkte. Andererseits steht das „zufällige“ vor „Verbindungsstrecke“. Und dann muss man noch das Kommunikationsrauschen von der Kneipe hierher bedenken.
Da werden wir den Problemschöpfer resp. den Hopfenmathematiker fragen müssen.