Stochastik: Junge oder nicht?

Wissenschaft Physik
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Das Experiment ist wie ein Urnenexperiment mit 4 Urnen. In
jeder Urne sind zwei Kugeln. In einer Urne mit der Aufschrift
MM, in einer mit JM usw.
Nun greifst Du in eine der Urnen un ziehst eine Kugel mit der
Aufschrift J (analog: ein Junge öffnet)
Daraufhin entfernt ein Wissender eine der drei anderen Urnen
(die mit MM) und holt aus den anderen zweien auch eine Kugel
mit J. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
auch die zweite Kugel J ist? Offenbar 1/3.

Max

irgendwie habe ich das gefühl wir reden an einander vorbei. ich versuche noch mal meine sicht zu erklären und wo der unterschied zu deiner betrachtungsweise liegt. hoffentlich bist du es noch nicht leid, schließlich geht es schon ne weile hin und her :smile:

also übernehme ich mal deine Kugeldarstellung: du sagst, ein wissender holt aus den anderen Urnen auch jeweils eine schwarze Kugel. Das würde entsprechen, dass auf jeden Fall ein Junge die Tür öffnet bei diesen beiden familien. Im Prinzip habe ich dadurch nur die Information, dass es mindestens eine schwarze kugel in der urne gibt.

ich versuche mal eine darstellung zu machen, an der nichts auszusetzen sein dürfte. falls du doch einen fehler findest muss ich es doch noch mal überdenken (bin mir aber ziemlich sicher):

also, es wird angenommen, dass bei allen Familien mit 2 Kindern die Kombinationen JJ MJ JM MM gleich wahrscheinlich sind. Außerdem wird angenommen dass es gleich wahrscheinlich ist, welches Kind die Tür öffnet (und nicht, wie es für deine Begründung notwendig wäre, dass auf jeden Fall ein Junge die Tür öffnet wenn es einen im Haus gibt).
Mit diesen Voraussetzung argumentiert MrStupid (ich sehe es genauso, will aber nicht sein geistiges eigentum klauen)

_Es gibt zunächst vier Verteilungen von Kindern mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit: MM, MJ, JM und JJ. Da in jedem Fall zwei Möglichkeiten bestehen, welches Kind die Tür öffnet vergrößert sich die Zahl auf 8 Fälle mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit (in Klammern steht das Kind, welches die Tür öffnet): M1M2 (M1), M1M2 (M2), M1J2 (M1), M1J2 (J2), J1M2 (J1), J1M2 (M2), J1J2 (J1) und J1J2 (J2). Von diesen Möglichkeiten entsprechen 4 der Aufgabenstellung (weil ein Junge die Tür öffnet) und bei diesen vier Möglichkeiten ist das zweite Kind zweimal ein Mädchen und zweimal ein Junge.
Also ist die Wahrscheinlichkeit 50%.

bin mal gespannt ob dich das überzeugen konnte
Hendrik_

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Also, Hendrik,
ich habe zugegebenermaßen nur geringe Ahnung von Stochastik.
Aber ich hoffe, gesiuunden Menschenverstand zu besitzen.

Selbst auf die Gefahr, dass ich mich unsterblich blamiere:
Wenn mir jemand die Tür öffnet (egal wieviel Leute im Haus leben) kann die Person nur entweder männlich oder weiblich sein. Die Chance steht 50:50. Über die nächste Person, die mir im Haus begegnet kann ich, ohne sie gesehen zu haben, nur aussagen, dass sie männlich oder weiblich sein wird. Wieder die gleiche Chance.
Und diese Chance wird sich nicht einmal bei der letzten Person ändern, solange ich sie noch nicht gesehen habe.
Es gibt einfach nur diese zwei Möglichkeiten. Und solange ich keine Aussage über die allgemeine Verteilung der Geschlechter im Haus habe.
Ein Wahrscheinlichkeitsaussage kann ich für die Gesamtheit der Hausbewohner treffen. Über Einzelpersonen nur, wenn mir weitere Informationen zur Verfügung stehen (z.B. es ist eine vier-Personen-Familie).

Über die vier-Personen Familie kann ich mit Sicherheit nur aussagen: Mindest eine Person ist weiblich, eine weitere Person ist männlich. Über die restlichen beiden Personen ist - Stochastik hin oder her - keine Aussage möglich.

Gruß Eckard.

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Ihr müßt euch mal darüber einigen, was ihr eigentlich wissen wollt!
Hier werden kunterbunt bedingte Wahrscheinlichekeiten und Laplace-W’s hin- und herdiskutiert.
Da hilft einem auch gesunder Menschenverstand nicht, denn gerade in der Stochastik hilft er einem nicht weiter.
Ist nun gefragt, ob die Eltern zwei Jungen haben oder ob ein weiteres Kind ein Junge ist??
Für den ersten Fall habt ihr einen eReignisraum mit den schon untern weit ausgeführten Pärchen E:={(JJ),(MJ),(JM),(MM)}. Eigentlich umfaßt E ALLE Kombinationen von Kindern, also auch Drillinge und s.w., wenn man Laplace verwenden will. Wegen der Randbedingungen aber schränken wir E auf die bekannten Paare ein.
Da sie auf jeden Fall eines der Paare haben, ergibt sich dann 1/3.
Otherwise intressiert eigentlich überhaupt nicht, wer eine Tür aufmacht oder was für ein Geschlecht diese hat.
Dann ergibt sich ohne Umschweife 1/2.
Für Aufgaben mit bedingten W’keiten müßte die Frage eigentlich auch so gestellt werden:
„Unter der Voraussetzungen, daß…, wie groß ist die W’keit, daß…“
Vielleicht habe ich das jetzt beim Durcuhlesen dieser ganzen Beiträge schon wieder verdrägt, aber ich meine mich zu eirinnern, daß die Aufgabe nicht so gestellt war.
Gruß
Tyll

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Hallo Tyl,
eigentlich triffst du das Problem auf den Kopf: Die Fragestellung ist undeutlich.
Also, im Original lautet die Aufgabe exakt:
„Eine Familie habe 2 Kinder. Ein Mann besucht diese Familie und ein Sohn öffnet ihm die Tür. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ebenfalls ein Junge ist? Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit ein Mädchen bzw. einen Jungen zur Welt zu bringen gleich groß ist“

Als ich dem Assi mit meine Einwände gegen das Ergebnis 1/3 gesagt habe, gab er zu, dass er mit der Aussage „ein Sohn öffnet ihm die Tür“ nur sagen wollte „es gibt mindestens einen Sohn in der Familie“. Allerdings ist sind das zwei verschiedene Aussagen, denn bei „ein Sohn öffnet die Tür“ kommt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sohn die Tür öffnet noch mit rein (die ja bei 2 Jungen höher ist als bei einem Jungen und einem Mächen). Bei der Aussage „es gibt mindestens einen Sohn in der Familie“ kommt dies nicht mit rein.
Daher die verschiedenen Ergebnissen.

Im Prinzip haben hier also beide Parteien recht, die Aufgabe ist schlecht oder zumindest mal ungeschickt gestellt.

Hendrik

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Hallo Tyl,
eigentlich triffst du das Problem auf den Kopf: Die
Fragestellung ist undeutlich.
Also, im Original lautet die Aufgabe exakt:
„Eine Familie habe 2 Kinder. Ein Mann besucht diese Familie
und ein Sohn öffnet ihm die Tür. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass das andere Kind ebenfalls ein
Junge ist? Es wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit ein
Mädchen bzw. einen Jungen zur Welt zu bringen gleich groß ist“

Als ich dem Assi mit meine Einwände gegen das Ergebnis 1/3
gesagt habe, gab er zu, dass er mit der Aussage „ein Sohn
öffnet ihm die Tür“ nur sagen wollte „es gibt mindestens einen
Sohn in der Familie“. Allerdings ist sind das zwei
verschiedene Aussagen, denn bei „ein Sohn öffnet die Tür“
kommt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sohn die Tür öffnet
noch mit rein (die ja bei 2 Jungen höher ist als bei einem
Jungen und einem Mächen). Bei der Aussage „es gibt mindestens
einen Sohn in der Familie“ kommt dies nicht mit rein.
Daher die verschiedenen Ergebnissen.

Hi,

ich wiederhole mich ja ungern :smile:
Durch die Aussage „ein Sohn öffnet die Tür“ kommt keine Wahrscheinlichkeit rein. Diese ist einfach die Bedingung, die in die bedingte Wahrsvcheinlichkeit eingeht.

Max

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Hi,

irgendwie ist meine erste Antwort im Nirvana gelandet, deshalb nochma’.

also übernehme ich mal deine Kugeldarstellung: du sagst, ein
wissender holt aus den anderen Urnen auch jeweils eine
schwarze Kugel. Das würde entsprechen, dass auf jeden Fall ein
Junge die Tür öffnet bei diesen beiden familien. Im Prinzip
habe ich dadurch nur die Information, dass es mindestens eine
schwarze kugel in der urne gibt.

Genau! Du solltest aber nicht sagen „auf jeden Fall“. So ist es ja nicht. Aber im aktuellen Fall hast Du eben schwarz gezogen. Auch die Formulierung „nur die Info.“ gefällt mir nicht. Diese Information ist doch gerade das entscheidende.

also, es wird angenommen, dass bei allen Familien mit 2
Kindern die Kombinationen JJ MJ JM MM gleich wahrscheinlich
sind. Außerdem wird angenommen dass es gleich wahrscheinlich
ist, welches Kind die Tür öffnet (und nicht, wie es für deine
Begründung notwendig wäre, dass auf jeden Fall ein Junge die
Tür öffnet wenn es einen im Haus gibt).
Mit diesen Voraussetzung argumentiert MrStupid (ich sehe es
genauso, will aber nicht sein geistiges eigentum klauen)

_Es gibt zunächst vier Verteilungen von Kindern mit
jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit: MM, MJ, JM und JJ. Da in
jedem Fall zwei Möglichkeiten bestehen, welches Kind die Tür
öffnet vergrößert sich die Zahl auf 8 Fälle mit jeweils
gleicher Wahrscheinlichkeit (in Klammern steht das Kind,
welches die Tür öffnet): M1M2 (M1), M1M2 (M2), M1J2 (M1), M1J2
(J2), J1M2 (J1), J1M2 (M2), J1J2 (J1) und J1J2 (J2). Von
diesen Möglichkeiten entsprechen 4 der Aufgabenstellung (weil
ein Junge die Tür öffnet) und bei diesen vier Möglichkeiten
ist das zweite Kind zweimal ein Mädchen und zweimal ein
Junge.
Also ist die Wahrscheinlichkeit 50%.

bin mal gespannt ob dich das überzeugen konnte
Hendrik_

Natürlich nicht :smile:

Also nochmal die Fälle:

M1M2 (M1)
M1M2 (M2)
M1J2 (M1)
M1J2 (J2)
J1M2 (J1)
J1M2 (M2)
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)

Ein Junge öffnet. Damit bleibt:

M1J2 (J2)
J1M2 (J1)
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)

Deine Argumentation ist jetzt: 4 Fälle, 2 mal ist das zweite Kind ein Junge, also 1/2.

Der Fehler dabei ist daß die Fälle
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)
nicht 2 Fälle sind, sondern nur einer. Die Jungen sind für Dich nicht unterscheidbar. Ich hatte ja schon mal gesagt daß wenn Du wüsstest daß z.b. das ältere Kind ein Junge ist, daß dann die W.keit 1/2 wäre. Aber das weisst Du eben nicht.
Oder um es anders zu formulieren:
die Fälle
M1J2 (J2)
J1M2 (J1)
repräsentieren die Ursprungsfälle MJ und JM, stehen also für 2 Ausgangsmöglichkeiten. die Fälle
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)
repräsentieren aber nur einen Ausgangsfall. Damit liegt an dieser Stelle kein Laplaceexperiment vor.

Max

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Ein Junge öffnet. Damit bleibt:

M1J2 (J2)
J1M2 (J1)
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)

Deine Argumentation ist jetzt: 4 Fälle, 2 mal ist das zweite
Kind ein Junge, also 1/2.

Der Fehler dabei ist daß die Fälle
J1J2 (J1)
J1J2 (J2)
nicht 2 Fälle sind, sondern nur einer.

Wenn Du diese beiden Fälle nicht unterscheidest, dann mußt Du auch die Wahrscheinlichkeit für M1J2 (J2) und J1M2 (J1) halbieren, weil in der Hälfte der Fälle das Mädchen die Tür öffnet. Du hättest dann 1 für JJ und 1/2*2 für JM und wärst wieder bei einer Wahrscheinlichkeit von 50%.

Du kannst es gnadenlos mit Einzelwahrscheinlichkeiten durchrechnen:

Wenn die Geburt von Jungen und Mädchen gleich wahrscheinlich ist, dann ist p(JJ)=0.25, p(JM)=0.5 und p(MM)=0.25.

Wenn Jungen die Tür genauso häufig öffnen, wie Mädchen, dann erhälst Du die Einzelwahrscheinlichkeit, daß ein Junge die Tür öffnet, indem Du die Anzahl der Jungen im Haushalt durch die Gesamtanzahl der Kinder dividierst. Das ergibt pJ(JJ)=1, pJ(JM)=0.5 und pJ(MM)=0.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß ein Junge die Tür öffnet beträgt also pJ = p(JJ)*pJ(JJ) + p(JM)*pJ(JM) + p(MM)*pJ(MM) = 0.25*1 + 0.5*0.5 + 0 = 0.5.

Da das zweide Kind nur dann ein Mädchen sein kann, wenn überhaupt ein Mädchen im Haushalt ist, interessiert uns noch die Wahrscheinlichkeit, daß Mädchen im Haushalt sind: pM(JJ)=0, pM(JM)=1 und pM(MM)=1.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß ein Junge die Tür öffnet und das zweite Kind ein Mädchen ist beträgt also pJM = p(JJ)*pJ(JJ)*pM(JJ) + p(JM)*pJ(JM)*pM(JM) + p(MM)*pJ(MM)*pM(MM) = 0.25*1*0 + 0.5*0.5*1 + 0.25*0*1 = 0.25.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, daß das zweite Kind ein Mädchen ist, wenn ein Junge die Tür öffnet erhalten wir als Quotient der Gesamtwahrscheinlichkeit, daß ein Junge die Tür öffnet und das zweite Kind ein Mädchen ist und der Wahrscheinlichkeit, daß ein Junge die Tür öffnet:

P = pJM/pJ = 0.25/0.5 = 0.5.

Man kann es noch beliebig komplizierter treiben, aber es geht auch viel einfacher, indem man die jeweils möglichen Einzelfälle durch die Gesamtzahl der möglichen Fälle dividiert. Dabei muß man natürlich beachten, daß die Einzelwahrscheinlichkeiten von der Zahl der Mikrozustände abhängen (z.B. J1J2 (J1) und J1J2 (J2)), auch wenn die zugehörigen Makrozustände für den Beobachter nicht unterscheidbar sind.

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hi,

okokok. Ich gebe zu ihr habt recht.
Wir haben heute Nachmittag die Firma mit der Diskussion geschädigt. Ergebnis:
Die Aussage „Ein Junge öffnet die Tür“ ist stärker als die Aussage „Die Familie hat einen Jungen“. Daher geht in den Nenner der Formel für die bedinget W’keit nicht 3/4 (=W.keit für „Die Familie hat einen Jungen“), sondern 1/2 ( (=W.keit für „Ein Junge öffnet die Tür“).

Max