In Mathe wurde folgende Aufgabe gestellt:
In einem Haus wohnt eine Familie mit 2 Kindern. Einer der Kinder öffnet die Tür, es ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind auch ein Junge ist?
Ich bin es mit dem Assistenten nach einigem Diskutieren immer noch nicht einig geworden. Er behauptet sie wäre 1/3, ich behaupte 1/2.
Ich lasse jetzt mal absichtlich die Argumentation weg, um euch nicht zu beeinflussen. Was meint ihr dazu?
Hendrik
In Mathe wurde folgende Aufgabe gestellt:
In einem Haus wohnt eine Familie mit 2 Kindern. Einer der
Kinder öffnet die Tür, es ist ein Junge. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind auch ein Junge ist?
Das ist mit den Angaben aus der Aufgabenstellung nicht zu berechnen. Entweder es handelt sich um eine unlösbare Scherzuaufgabe, oder es wurden weitere Bedingungen als bekannt vorausgesetzt.
Hi,
dein Assi hat recht.
Von den ursprüngichen Möglichkeiten (MJ)(MM)(JJ)(JM)
entfällt die Möglichkeit (MM).
Von den 3 Möglichkeiten (MJ)(JJ)(JM) enthält aber nur eine 2 Jungen. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.
Würdest Du eine Ordnung der Kinder kennen. z.b. der Türöffner ist der ältere, hättest Du recht.
Max
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dein Assi hat recht.
Von den ursprüngichen Möglichkeiten (MJ)(MM)(JJ)(JM)
entfällt die Möglichkeit (MM).
Von den 3 Möglichkeiten (MJ)(JJ)(JM) enthält aber nur eine 2
Jungen. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.
Mal als Denkanstoß: Ich ersetze Jungen und Mädchen durch schwarze und weiße Kugeln. Anstatt zwei Kinder zu bekommen ziehen die Eltern zwei Kugeln aus einem unendlich großen Gefäß. Nun erscheint eine schwarze Kugel an der Tür. Welchen Wert brauche ich nun um zu berechnen, welche Farbe die zweite Kugel hat.
Kleiner Tipp: dieser Wert fehlt auch in der Aufgabe mit den Kindern.
Hi,
dein Assi hat recht.
Von den ursprüngichen Möglichkeiten (MJ)(MM)(JJ)(JM)
entfällt die Möglichkeit (MM).
Von den 3 Möglichkeiten (MJ)(JJ)(JM) enthält aber nur eine 2
Jungen. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.Würdest Du eine Ordnung der Kinder kennen. z.b. der Türöffner
ist der ältere, hättest Du recht.Max
Hallo Max
So hat der Assi auch argumentiert. Allerdings habe ich folgenden Einwand gegen diese Argumentation: Es ist in der Tat richtig, dass (MM) wegfällt. Allerdings ist bei den anderen Kombinationen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge die Tür öffnet, unterschiedlich: bei (JM) und (MJ) jeweils 1/2, bei (JJ) aber 1. Man kann also keine Laplace-Annahme machen, deswegen auch nicht die Anzahl der „günstigen“ Ergebnisse durch die Zahl möglicher Ergebnisse teilen. Wenn man das mit einbezieht ergibt sich: 1/2 * 1/4 + 1/2 * 1/4 + 1 * 1/4 = 1/2
Hendrik
Hi MrStupid
okay, ich habe eine angabe vergessen (die man aber fast schon raten kann). Beide Geschlechter sollen bei der Geburt gleich wahrscheinlich (also P=1/2) sein. Damit sollte die aufgabe machbar sein.
Hendrik
Hi,
Laplace kannst Du nicht direkt anwenden, weil Du ja Vorkenntnisse hast. Was Du hier anwenden musst ist die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit.
Sei:
! := unter der Bedingung
n = Schnittmenge
e := Element aus
Pa = a priori Wahrscheinlichkeit
G1 = Geschlecht 1
G2 = Geschlecht 2
dann gilt:
P(G1G2=JJ ! G1G2e{JM,MJ,JJ}) = Pa(JJ n {JM,MJ,JJ}) / Pa(G1G2 e {JM,MJ,JJ})
Jetzt kann man die apriori Wahrscheinlichkeiten mit Laplace ausrechnen.
Pa(JJ n {JM,MJ,JJ})= Pa(JJ)=1/4
Pa(G1G2 e {JM,MJ,JJ}) = 3/4
Also:
P(G1G2=JJ ! G1G2e{JM,MJ,JJ}) = (1/4)/(3/4) = 1/3
Max
okay, ich habe eine angabe vergessen (die man aber fast schon
raten kann). Beide Geschlechter sollen bei der Geburt gleich
wahrscheinlich (also P=1/2) sein. Damit sollte die aufgabe
machbar sein.
Das reicht aber immer noch nicht. Man braucht zusäzulich sie Wahrscheinlichkeit, daß der Junge die Tür schneller öffnet als das Mädchen. Beträgt diese 100%, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß das zweite Kind ein Mädchen ist 2/3. Beträgt sie 50%, dann beträgt auch die Wahrscheinlichkeit, daß das zweite Kind ein Mädchen ist 50%. Öffnet dagegen immer das Mädchen zuerst die Tür, dann ist das zweite Kind mit Sicherheit ein Junge.
rein formal hast du natürlich recht. aber es wird als gleich wahrscheinlich angesehen, wer von den beiden kindern die tür öffnet.
wie wäre in diesem fall deine antwort?
Hi,
Laplace kannst Du nicht direkt anwenden, weil Du ja
Vorkenntnisse hast.
Das habe ich in meinem Beitrag doch geschrieben??? (dass Laplace nicht geht)
Sei:
! := unter der Bedingung
n = Schnittmenge
e := Element aus
Pa = a priori Wahrscheinlichkeit
G1 = Geschlecht 1
G2 = Geschlecht 2
dann gilt:P(G1G2=JJ ! G1G2e{JM,MJ,JJ}) = Pa(JJ n {JM,MJ,JJ}) / Pa(G1G2 e
{JM,MJ,JJ})
Jetzt kann man die apriori Wahrscheinlichkeiten mit Laplace
ausrechnen.
Pa(JJ n {JM,MJ,JJ})= Pa(JJ)=1/4
Pa(G1G2 e {JM,MJ,JJ}) = 3/4Also:
P(G1G2=JJ ! G1G2e{JM,MJ,JJ}) = (1/4)/(3/4) = 1/3
Ich würde dir recht geben, wenn es in der Fragestellung nicht lauten würde, dass ein Junge die Tür öffnet, sondern dass bekannt ist, dass eines der Kinder ein Junge ist. Für mich macht das einen Unterschied, denn es ist nicht gegeben, dass grundsätzlich ein Junge die Tür öffnet. Im letzten Fall spielt dann nämlich die Wahrscheinlichkeit, wer die Tür öffnet, keine Rolle.
rein formal hast du natürlich recht. aber es wird als gleich
wahrscheinlich angesehen, wer von den beiden kindern die tür
öffnet.
wie wäre in diesem fall deine antwort?
Das sagte ich doch bereits: 50%. Die Sache ist eigentlich relativ einfach. Es gibt zunächst vier Verteilungen von Kindern mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit: MM, MJ, JM und JJ. Da in jedem Fall zwei Möglichkeiten bestehen, welches Kind die Tür öffnet vergrößert sich die Zahl auf 8 Fälle mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit (in Klammern steht das Kind, welches die Tür öffnet): M1M2 (M1), M1M2 (M2), M1J2 (M1), M1J2 (J2), J1M2 (J1), J1M2 (M2), J1J2 (J1) und J1J2 (J2). Von diesen Möglichkeiten entsprechen 4 der Aufgabenstellung (weil ein Junge die Tür öffnet) und bei diesen vier Möglichkeiten ist das zweite Kind zweimal ein Mädchen und zewimal ein Junge.
Hi mrstupid
stimmt du hattest die antwort schon geschrieben, sorry 
danke für die gute begründung. ich sehe es ja genauso, aber ich weiß nicht ob ich den assi überzeugen kann.
eigentlich wollte er mit der angabe, dass ein junge die tür öffnet nur sagen, dass man weiß, das eines der kinder ein junge ist. also hat er bei der aufgabenstellung geschlampt (denn dann wäre ich mit 1/3 einverstanden)
ciao
Hendrik
PS dein nickname scheint mir sehr bescheiden 
Genau !
Hi,
dein Assi hat recht.
Von den ursprüngichen Möglichkeiten (MJ)(MM)(JJ)(JM)
entfällt die Möglichkeit (MM).
Von den 3 Möglichkeiten (MJ)(JJ)(JM) enthält aber nur eine 2
Jungen. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.
Hi, ich wollte gerade ein Plaedoyer fuer 1/2 halten, beim naeheren Ueberlegen muss ich allerdings zugeben, dass Du recht hast :
Das Problem ist eigentlich, was ist gefragt ?
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind ein Junge oder Maedchen ist, ist 1/2
Die Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Kindern beides Jungen sind, ist 1/4
Jetzt, in Abhaengigkeit vom ersten Kind, ist das 2. auch noch ein Junge ? -> 1/3 !
0 oder 1
Kinder öffnet die Tür, es ist ein Junge. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind auch ein Junge ist?
Es ist keine Frage der Wahrscheinlichkeit. Ist das Kind ein Junge so ist die Wahrscheinlichkei = 1. Ist er kein Junge, ist die Wahrscheinlichkeit Null. Eigentlich kann man den Begriff Wahrscheinlichkeit nur sinnvoll auf zukuenftige Ereignisse anwenden, also wie wahrscheinlich ist es dass das naechste Kind auch ein Junge wird, etc…
Gruss Abe…
Hi Mr. Lincoln
den Einwand lasse ich nicht gelten. Klingt zwar irgendwie logisch, aber im prinzip kann man die fragestellung so deuten:
man nimmt aus einem Topf mit unendlich vielen schwarzen und einer weißen Kugeln (bis auf die Farbe seien die Kugeln gleich) 2 Kugeln. Diese tut man in eine Tüte, ohne dass man sie sieht. Jetzt nimmt man aus der Tüte eine Kugel. Sie sei schwarz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man, wenn man die 2. Kugel aus der Tüte holt, ebenfalls eine schwarze in der Hand hält? So gesehen ist es schon möglich von Wahrscheinlichkeit zu sprechen.
Natürlich wäre die Wahrscheinlichkeit bei einer bestimmten Familie 0 oder 1, allerdings würde sich für eine unendliche Anzahl Familien eine Verteilung ergeben, die sich der Wahrscheinlichkeit annähert. Und die ist dann nicht 0 oder 1.
ciao
Hendrik
was habt ihr eigentlich für Kinder?
Hi Beteiligte,
Eltern mit ZWEI Kindern haben entweder zwei Mädchen (MM) oder zwei Jungs (JJ) oder EIN GEMISCHTES Pärchen (MJ). Wenn nun ein Junge die Tür öffnet, na, was bleibt?
Gruß
Pat
Hi,
vielleicht habe ich Dir zu schnell mit dem Laplace recht gegeben. Bei genaurem Überlegen ist es immer noch Laplace. Mir war die Rechnung über die bedingte W. wichtiger. Die ist nämlich einfach richtig! Dazu brauchst Du auch keine Plausibilitätsüberlegungen zu machen. Versuch sie mal nachzuvollziehen.
Aber hier noch eine Plausibilitätsüberlegung:
Das Experiment ist wie ein Urnenexperiment mit 4 Urnen. In jeder Urne sind zwei Kugeln. In einer Urne mit der Aufschrift MM, in einer mit JM usw.
Nun greifst Du in eine der Urnen un ziehst eine Kugel mit der Aufschrift J (analog: ein Junge öffnet)
Daraufhin entfernt ein Wissender eine der drei anderen Urnen (die mit MM) und holt aus den anderen zweien auch eine Kugel mit J. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, daß auch die zweite Kugel J ist? Offenbar 1/3.
Max
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Hi,
woher hast Du die Ordnung für das gemischte Pärchen?
Max
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Hi Max,
wen Du´s als Spaß meinst, -> weil ich keinen Ärger mit der Damenfraktion suchte.
Wenn Du´s ernst meinst, -> man könnte die Buchstaben auch wechseln, dann bliebe immer noch nur EIN J + EIN M, es bleibt bei EINEM Pärchen, die Eltern haben nur ZWEI Kinder und es war nicht die Rede von zusätzlichen Bedingungen, wie Alter, Gesundheit oder Haarfarbe. Spielst Du dagegen mit bestimmten (bunten) Bauklötzchen ein ähnliches Rätsel, muss natürlich (Randbedingungen!) überlegt werden, ob in DEM Fall die zweite Kombination eine Rolle spielen kann. In vielen ähnlichen (Mathe-) Aufgaben ist das sicher so.
Gruß
Pat
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sorry pat, aber es ist nun mal doppelt so wahrscheinlich dass die Kinder unterschiedliche Geschlächter haben als dass es 2 Jungen sind. Es spielt also schon eine Rolle, du kannst ein gemischtes Pärchen und 2 Jungen nicht gleich behandeln.
Eigentlich ist Stochastik nicht mein Lieblingsbereich in Mathe. Aber ich finde es toll wie man dabei diskutieren kann.
)
ciao
Hendrik
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