Stochastik mit karten

Wissenschaft Physik
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ich komm einfach auf keine zufriedenstellende lösung :frowning:

folgendes problem:
wie wahrscheinlich ist es, dass in einem ideal gemischten stapel von 52 karten 4 oder mehr gleiche farben (also entweder karo, pik, kreuz oder herz) hintereinander im stapel liegen

ich hab mir zuerst überlegt wieviele möglichkeiten es gibt, ein 52-karten blatt beliebig anzuordnen (-> 52!)

dann hab ich versucht alle günstigen ereignisse in eine formel zu packen:

zunächst 4 karten aus den 13 gleichfarbigen auswählen: „4 aus 13“
permutationen innerhalb dieser 4 karten: 4!
permutationen der restliche karten die darum verteilt sind: (52-4)!
möglichkeiten der positionierung der 4er-kette innerhalb des stapels: 52-4+1

soweit so gut, es kommt auch ein relativ akzeptabler wert raus, da ich das ganze ein paar mal durchgemischt und nachgekuckt hab.
wenn ich jetzt allerdings das ganze mit einer „einser-kette“ nochmal mache, müsste ja eigentlich 1 raus kommen. tuts aber nicht
wo ist mein denkfehler?
gibts einfachere ansätze?

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Hi schnitzor

wie wahrscheinlich ist es, dass in einem ideal gemischten
stapel von 52 karten 4 oder mehr gleiche farben (also entweder
karo, pik, kreuz oder herz) hintereinander im stapel liegen

Bekanntermaßen :wink: bin ich ja alles andere als ein Mathematiker, aber ich bin ein Gelegenheits-Pokerspieler (hallo Gandalf, schade, dass Du so weit weg wohnst, ich trinke auch gerne Whiskey) und finde, dass ich vergleichsweise selten ein flash habe, also das, was Du da beschriebst, alle 5 Karten von einer Farbe (Piek, Karo oder so) kömmt nicht allzu oft vor.
Andererseits - wenn man die Wertigkeiten der Blätter im Poker so anschaut, liegt das flash unterm full house (und natürlich somit auch unterm Poker und straight flash) und gehört daher nicht zu den seltensten Blättern.
Vielleicht kannst Du nicht viel mit meiner Aussage anfangen, für mich selbst ist sie aber anschaulicher und konkreter als die Wahrscheinlichkeitsrechnung da.
Frag also einfach noch ein paar Pokerspieler und Du bekommst womöglich eine genauere Vorstellung, wie oft so ein flash kommt.
Gruß,
Branden

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Ich würde das etwas anders angehen:
Wie gross ist die wahrscheinlichkeit, dass überhaupt eine farbe mehrmals hintereinander gezogen werden kann (Ich sage jede Karten art, pick, karro… hat eine andere Farbe). Also ich nabe 13 Karten der gleichen Farbe und
52 insgesammt also die Wahrscheinlichkeit ist ja dann etwa:
13*12*11*10, dass ich vier gleichfarbige Karten ziehe durch:
4!(vier farben) + 13! (Karten pro Farbe) also!
13!/9!*1/(4!+13!)=13*12*11*10/(4!+13!) kann das stimmen, es ist schon lange zurück und so der Hirsch war ich auch nie.

Grüsse Sebastian

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4

Hallo,

welches Modell nun stimmt, läßt sich experimentell überprüfen.
Weil sicher niemand zig-tausende mal Karten ziehen will, habe ich den Computer bemüht - mit folgendem Ergebnis:

Wenn man GENAU 4 Karten zieht und jede gleich wieder in den Stapel ZURÜCKLEGT, dann ist

p(4 gleiche Farben) = 0.0164

Wenn man GENAU 4 Karten zieht und die NICHT ZURÜCKLEGT, dann ist

p(4 gleiche Farben) = 0.0105

Die p-Werte sind genau bis auf die letzte angegebene Stelle.

Der Simulation liegen 100000 Ziehungen von je 4 Karten aus einem 52er Blatt zu grunde (13 x Kreuz, 13 x Pik, 13 x Herz und 13 x Karo).

Wenn man mehr als 4 Karten zieht und wissen will, mit welcher W’keit man MINDESTENS 4 gleicher Farbe zieht, dann wird’s deutlich komplizierter. Um das aber ermitteln zu können, muß man wenigstens die Anzahl der gezogenen Karten gegeben haben.

Beispiel:
Zieht man 5 Karten mit Zurücklegen, ist p = 0.0631
Zieht man 5 Karten ohne Zurücklegen, ist p = 0.0444

Bei 8 gezogenen Karten ist p mit Zurücklegen schon 0.4530, ohne Zurücklegen ergibt sich p = 0.3786.

Ab 13 gezogenen Karten ist p=1, weil im ungünstigsten Fall 4 x 3 Karten einer Farbe gezogen werden können und die nächste Karte dann ja die 4. einer dieser Reihen sein muss.

So, viel Spaß beim Prüfen der Formeln wüscht

Jochen

5

Hallo,

schön dass Du das mal programmiert hast.
Die zweite Zahl ist auch logisch:

Wenn man GENAU 4 Karten zieht und die NICHT ZURÜCKLEGT, dann
ist

p(4 gleiche Farben) = 0.0105

Die erste Karte ist beliebig, sie legt nur fest, um welche Farbe es jetzt geht. Die zweite muss dies Farbe haben, dafür gibt es 12 aus 51 Möglichkeiten. Für die nächste Karte gibt es 11 aus 50 Möglichkeiten und für die letzte 10 aus 49. Also ist

p = 12/51 mal 11/50 mal 10/49 = 0,0105…

Dein erstes Ergebnis

Wenn man GENAU 4 Karten zieht und jede gleich wieder in den
Stapel ZURÜCKLEGT, dann ist

p(4 gleiche Farben) = 0.0164

bekomme ich aber nicht hin, ich hätte gedacht, es muss

p = (13/52) hoch 3 = 0,015625 sein.

Aber insgesamt entspricht das ja eigentlich gar nicht so richtig dem, was der Frager wissen wollte, oder? Oder gibt es einen einfachen Zusammenhang zwischen Ziehungsergebnis und Anordnung im Kartenstapel?

Olaf

6

Aber insgesamt entspricht das ja eigentlich gar nicht so
richtig dem, was der Frager wissen wollte, oder? Oder gibt es
einen einfachen Zusammenhang zwischen Ziehungsergebnis und
Anordnung im Kartenstapel?

Olaf

exakt!
denn eigentlich überprüfe ich ja eine reihe von 52 karten auf eine folge von mindestens 4 gleichfarbigen. also ist es vermutlich um einiges wahrscheinlicher, dass sich darin eine 4er+ kette befindet, als wenn ich nur 4 karten ohne zurücklegen ziehe. das wäre ja „4 aus 13“ geteilt durch „4 aus 52“

die aufgabe hab ich übrigens immer noch nicht gelöst

7

Hi…

Wenn man GENAU 4 Karten zieht und die NICHT ZURÜCKLEGT, dann
ist
p(4 gleiche Farben) = 0.0105

Die erste Karte ist beliebig, sie legt nur fest, um welche
Farbe es jetzt geht. Die zweite muss dies Farbe haben, dafür
gibt es 12 aus 51 Möglichkeiten. Für die nächste Karte gibt es
11 aus 50 Möglichkeiten und für die letzte 10 aus 49. Also ist

p = 12/51 mal 11/50 mal 10/49 = 0,0105…

Aber insgesamt entspricht das ja eigentlich gar nicht so
richtig dem, was der Frager wissen wollte, oder? Oder gibt es
einen einfachen Zusammenhang zwischen Ziehungsergebnis und
Anordnung im Kartenstapel?

Den gibt es (naja, einfach ist Definitionssache):
Ich nehme den gemischten Kartenstapel und ziehe ohne Zurücklegen die ersten vier Karten und bekomme mit obiger Wahrscheinlichkeit 4 gleiche. Dann lege ich alle bis auf die erste doch wieder zurück (natürlich in der gleichen Reihenfolge), und wiederhole die Ziehung.
Nach insgesamt 49 solcher Ziehungen hab ich den ganzen Stapel durch.

Bekanntermaßen darf man die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach aufsummieren, sondern muss mit der Gegenwarscheinlichkeit rechnen. Die Wahrscheinlichkeit für 4 gleiche Karten bei mindestens einer der 49 Ziehungen ist

1 - (1 - P4)49

= 1 - (1 - 0,0105)49

Das ergibt etwas über 0.4 - ich hätte geschätzt, daß es noch wahrscheinlicher ist. Für drei gleiche liegt die Wahrscheinlichkeit schon über 0.9, das passt dann auch zu meiner Intuition :smile:

genumi

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N Abend,

klingt erstmal gar nicht schlecht. Aber - von Ziehung zu Ziehung werden es doch immer weniger Karten, so dass die Wahrscheinlichkeit P4 ja nicht mehr dieselbe ist, sie verändert sich von Ziehung zu Ziehung. Oder? Und sie ist auch nicht mehr so einfach auszurechnen, weil man ja gar nicht weiß, was überhaupt noch im Reststapel drin ist.
Kann Jo… das nicht mal simulieren? Experimentelle Stochastik sozusagen.

Olaf

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wie wahrscheinlich ist es, dass in einem ideal gemischten
stapel von 52 karten 4 oder mehr gleiche farben (also entweder
karo, pik, kreuz oder herz) hintereinander im stapel liegen

ich hab mir nicht alles durchgelesen, aber ich würde anders vorgehen.

die wahrscheinlichkeit, daß eine beliebige karte eine beliebige farbe hat, ist 1.
die wahrscheinlichkeit, daß die nächste die selbe farbe hat, ist 1/4.
die wahrscheinlichkeit, daß noch eine dritte von der selben farbe dahinterliegt, ist 1/16.
vier hintereinanderliegende gleiche farben kommen mit einer wahrscheinlichkeit von 1/64 vor.

in einem 52 karten umfassenden spiel gibt es 49 möglichkeiten, um eine serie von vier karten zu beginnen. das bedeutet, daß mit einer wahrscheinlichkeit von 49/64 mindestens vier gleichfarbige karten hintereinander vorkommen können.

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Passt leider nicht, da die wahrscheinlichkeit von 1/4 nur richtig ist, wenn gleich viele Karten jeder Farbe im Spiel sind, das ist aber nur bei der ersten Karte mit Sicherheit der Fall.

Außerdem kannst du die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach so addieren.

  • du würdest bestenfalls einen Erwartungswert herausbekommen. Das merkt man schon, wenn man das auf ein doppeltes Spiel mit 104 Karten anwendet da bekommst du ein Ergebnis >1 was für Wahrscheinlichkeiten meist schlecht ist

  • Außerdem sind die Ereignisse 4gleiche in den Karten 1-4 nicht unabhängig von 4gleiche in den karten 2-5, Wenn ersteres eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit von zweiterem 1/4, da die ersten 3Karten des Sets ja schon gleich sind

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