Stochastik-Problem

Wissenschaft Physik
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Hallo zusammen

Ich sollte die Berechnung einer Warscheinlichkeit eines Phänomens eine Formel haben und komme nicht weiter. Ich haber versucht, das Ganze stark zu vereinfachen. Das Problem lautet dann wie folgt:

Ich habe einen Topf mit je einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel (Ziehungswahrscheinlichkeit ist also je 1/3).
Ich ziehe nun laufend Kugeln aus dem Topf und lege sie wieder zurück. Wenn ich eine rote Kugel habe, höre ich auf.
Was ich nun wissen sollte: wie rechne ich die Wahrscheinlichkeit aus, dass ich nach n Wiederholungen genau einmal A ziehe?

Ich habe mir das ganze in einem Wahrscheinlichkeitsbaum aufgezeichnet:
In der ersten Runde ist p=1/3. in der zweiten Runde ist p=2*(1/3)^2, in der dritten Runde ist p=4*(1/3)^3 und so weiter.
Diese Wahrscheinlichkeiten möchte ich nun alle zusammenzählen.

in der Formel ergibt dies: Summe für k=1 bis n von (1/3)^k *((2^k)-2)

Da ich das Ganze nun über 20000 Runden berechnen will (natürlich mit einer viel kleineren Ziehungswahrscheinlichkeit), kann ich nicht von Hand zusammmenzählen. Ich suche eine Formel, mit der ich die Berechnung durchführen kann.

Bin dankbar um jede Hilfe und für alle Tipps

herzlichen Dank zum Voraus,

Stephan

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Hallo Stephan,

die Wahrscheinlichkeit bei n Wiederholungen genau einmal rot zu ziehen ist: 1-(3/2)*(2/3)^(n+1)

Lösungsweg:

In der ersten Runde ist p=1/3. in der zweiten Runde ist
p=2*(1/3)^2, in der dritten Runde ist p=4*(1/3)^3 und so
weiter.
Diese Wahrscheinlichkeiten möchte ich nun alle zusammenzählen.

Soweit alles o.k.

in der Formel ergibt dies: Summe für k=1 bis n von (1/3)^k
*((2^k)-2)

Das ist falsch. Die Formel lautet richtig:
Summe k=1…n [(1/3)^k * 2^(k-1)]

Das lässt sich nun durch vorziehen des Faktors 1/2 umschreiben:
(1/2) * Summe k=1…n [(2/3)^k]

Das ist nun eine sogenannte geometrische Reihe. Die Herleitung ist easy, in Formelsammlung nachschlagen hilft auch. Allgemein gilt:
Summe k=1…n [q^n] = (q^(n+1)-q)/(q-1)

In Deinem Fall ist nun also q=2/3. Eingesetzt ergibt sich:
((2/3)^(n+1)-(2/3))/(2/3 - 1)

Und umgeformt
2 - 3*(2/3)^(n+1)

Nun noch den Faktor 1/2 nicht vergessen, der ja vor der Summe steht
Somit Ergebnis: 1 - (3/2)*(2/3)^(n+1)

Gruß,
Heinz Gerald

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Somit Ergebnis: 1 - (3/2)*(2/3)^(n+1)

Das lässt sich natürlich noch vereinfachen zu: 1 - (2/3)^n

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Besten Dank, das hat mein Problem gelöst! (owt)
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