Ich hoffe die folgenden Anmerkungen können Dir weiterhelfen:
1b) Persönlich finde ich es hilfreich (bin selbst mathematisch schwerbehindert!), sich die Situation ggf. mit kleineren Zahlen graphisch zu verdeutlichen, die einzelnen Fälle einfach stur abzuzählen und dann in die daraus (hoffentlich) abzuleitende Formel die ursprünglichen Zahlen des jeweiligen Problems einzusetzen. Im Fall der vier Klassen könnte man sich die Lösung so verdeutlichen: Man lässt zunächst die Auswahl in den Klassen 2,3, und 4 fest und hat, wie Du richtig ansetzt, 25 über 5 Möglichkeiten. Nun wählt man z.B. in Klasse 2 eine andere Stichprobengruppe. Wenn man wieder über die Klasse 1 variiert, ergeben sich 25 über 5 neue Möglichkeiten, usw. Auch für die Klasse 2 hat man 25 über 5 Möglichkeiten, eine Stichprobengruppe auszuwählen. Insgesamt ergeben sich (bei fester Stichprobengruppe in Klasse 3 und 4) also:
(25 über 5) * (25 über 5)
Möglichkeiten. Nun variiert man die Auswahl in Klasse 3. Die Anzahl der Kombinationen ist damit:
(25 über 5) * (25 über 5) * (25 über 5).
Schließlich wird noch die Auswahl in klasse 4 variiert.
Insgesamt also ergeben sich also:
(25 über 5) * (25 über 5) * (25 über 5) * (25 über 5) = (25 über 5)4
Kombinationen.
Man sieht, dass die Aufgaben b) und c) ähnlich sind, außer dass in c) die Grundmengen (Jungs,Mädels) und Stichprobengrößen unterschiedlich sind. Das Ergebnis in c) ist dann (wie Anwar und Jartul in ihren Posts korrekt angeben) analog:
(60 über 12) * (40 über 8)
- Wie Jartul richtig sagt, gibt es zwei Möglichkeiten, die Aufgaben 2a)-c) aufzufassen – je nachdem, ob es darauf ankommt, welches Auto auf welchem Parkplatz steht oder nicht – und Du wählst bei a) und b) jeweils eine andere:
a) Der Binomialkoeffizient 20 über 16 liefert die Antwort auf die Frage: „Wie viele Kombinationen aus besetzten und unbesetzten Parkplätzen gibt es?“ (man wählt 16 Parkplätze aus den 20 aus.) Bei der Aufgabe b) würde diese Formel (20 über 20) die Antwort 1 liefern.
Wenn es darauf ankommt, welches Auto auf welchem Parkplatz steht, (wie Du es bei Aufgabe b) annimmst), fällt bei Aufgabe a) der Faktor 16! Im Nenner des Binomialkoeffizienten weg:
N = 20!/4!
Auch hier ist es u.U. sinnvoll, sich das ganze mit einer überschaubareren Anzahl von Autos und Parkplätzen explizit zu überlegen (z.B. 2 Autos (A,B) auf 4 Parkplätze (1,2,3,4)) und die daraus abgeleitetet Regel auf die konkreten Zahlen des Problems zu übertragen.
2c) Dass die Lösung hier nicht dieselbe wie im Fall b) sein kann, lässt sich anschaulich vielleicht dadurch verdeutlichen, dass man von den 30 Autos 20 auswählt, womit sich die Situation b) ergibt. Es gibt aber mehrere Möglichkeiten die 20 auszuwählen.
Ein direkterer Ansatz wäre, die Fragestellung a) einfach umzudrehen. Statt: wie viele Möglichkeiten gibt es, 16 Autos auf 20 Parkplätze zu verteilen nun: wie viele Möglichkeiten gibt es 20 Parkplätze auf 30 Autos zu verteilen. Entsprechend den beiden Interpretationsmöglichkeiten wären die Lösungen dann entweder:
(30 über 20) = 30! / (10! * 20!) oder 30! / 10!
3b) Auch hier mein Vorschlag: mit kleineren Zahlen explizit ausprobieren (z.B. 2 Spieler und 5 Karten).
Für den ersten Spieler ergeben sich 10 Karten aus 32,
für den zweiten Spieler verbleiben 10 Karten aus den restlichen 22,
für den dritten 10 Karten aus den übrigen 12.
- Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich als der jeweilige Anteil der „guten“ Skatblätter (solche, die 2,3, bzw. 4 Asse enthalten) an der Gesamtzahl der möglichen Skatblätter eines Spielers. Letztere ist (aus 2b) 32 über 10.
Betrachten wir den Fall a). Nehmen wir an, der Spieler hat Pik-As und Karo-As. Für die restlichen 8 „Nicht-Asse“ in seinem Blatt gibt es 28 über 8 Möglichkeiten. Da aber die Farbe der beiden Asse egal ist, multipliziert sich die Anzahl der „guten“ Skatblätter noch mit der Zahl der Möglichkeit 2 Asse aus 4 auszuwählen, also:
P(2 Asse) = (28 über 8) * (4 über 2) / (32 über 10) =~ 0,289
Entsprechend:
P(3 Asse) = (28 über 7) * (4 über 3) / (32 über 10) =~ 0,074
P(4 Asse) = (28 über 6) * (4 über 4) / (32 über 10) =~ 0,006
Wenn ich darf, vielleicht eine Bemerkung zur Plausibilität Deiner Ergebnisse: Es wäre mit diesen Zahlen astronomisch unwahrscheinlich, auch nur 2 Asse zu erhalten. Zudem wären, wie Anwar richtig bemerkte, 4 Asse wahrscheinlicher als 2. (Pokerspieler würd’s freuen.)
- Wie Tobias schon richtig bemerkte, kann man den Skat auch als „Spieler“ ansehen der 2 Karten bekommt und mit obigen Überlegungen die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass 0,1 oder 2 davon Asse sind.
