Hi,
entweder ist es einfach zu spät oder ich komm nicht bei der Aufgabe weiter. Wie oft muss man durchschnittlich einen normalen Würfel würfeln damit man eine 5 hat?
Danke für eure schnellen Antworten.
Hallo
Wie oft muss man durchschnittlich einen
normalen Würfel würfeln damit man eine 5 hat?
Stichwort wäre wohl die geometrische Verteilung.
Aber bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 für eine bel. Zahl wohl 6-mal.
mfg M.L.
Moin,
na so ganz trivial ist es wohl nicht. Theoretisch kann es ja sein, dass Du 1000 mal würfeln musst, bis mal eine 5 kommt. Nur ist das eben sehr unwahrscheinlich.
Du musst also berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass die 5 beim 1. mal kommt, beim 2. mal, beim 3. mal usw. Dann musst Du den Durchschnitt bilden, also die Anzahl der nötigen Würfe mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und das alles aufaddieren.
Also:
Die W., dass beim ersten mal die 5 kommt, ist 1/6.
Die W., dass die 5 erst beim 2. Wurf kommt, ist 5/6 mal 1/6.
Die W. dass die 5 beim 3. Wurf kommt, ist (5/6)2 mal 1/6.
Na usw.
Die W., dass die 5 genau beim n. Wurf kommt, ist (5/6)n-1 mal 1/6.
Deine gesuchte durschnittliche Anzahl ist dann die unendliche Summe von n=1 bis unendlich über (5/6)n-1 mal (1/6) mal n.
Ich hoffe, das konvergiert…
Olaf
Ganz ehrlich, das war gestern Nacht auch mein Gedanke. Aber nachdem ich 1 Stunde nach einer Konvergenz gesucht habe, hab ich aufgegeben. Kannst du (oder jemand anderes) diese denn „leicht“ berechnen?
Trotzdem Danke für die Antwort!
hi,
Also:
Die W., dass beim ersten mal die 5 kommt, ist 1/6.
Die W., dass die 5 erst beim 2. Wurf kommt, ist 5/6 mal 1/6.
Die W. dass die 5 beim 3. Wurf kommt, ist (5/6)2
mal 1/6.
Na usw.
Die W., dass die 5 genau beim n. Wurf kommt, ist
(5/6)n-1 mal 1/6.Deine gesuchte durschnittliche Anzahl ist dann die unendliche
Summe von n=1 bis unendlich über (5/6)n-1 mal (1/6)
mal n.Ich hoffe, das konvergiert…
ja. das tut es. nämlich gegen 1/p, wobei p die wsk für erfolg, also hier p = 1/6, ist.
geht gut in einer tabellenkalkulation:
Anz.
Würfe WSK
1 16,67%
2 13,89%
3 11,57%
4 9,65%
5 8,04%
6 6,70%
7 5,58%
8 4,65%
9 3,88%
10 3,23%
11 2,69%
12 2,24%
13 1,87%
14 1,56%
15 1,30%
16 1,08%
17 0,90%
18 0,75%
19 0,63%
20 0,52%
wobei die wsk immer durch multiplikation mit 5/6 aus der zelle davor (erste zelle: 1/6) gewonnen wird. also so wie oben beschrieben.
ja, das ist eine geometrische verteilung („typ A“ in wikipedia:
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung)
der erwartungswert ist 6 - du musst im schnitt 6 mal würfeln. die gesuchte zahl kommt oft schon früher, aber manchmal auch sehr lange zeit gar nicht.
m.
Hi,
also die Antwort scheint fast schon das zu sein, was ich suche. Ich frag mich nur, warum diese Aufgabe „Schulniveau“ sein soll?
Naja, zumindest mit der dritten Herleitung kann ich mir das Schulniveau gerade so noch vorstellen.
Danke und Gruß
DuAK007
Ich hoffe, das konvergiert…
ja. das tut es. nämlich gegen 1/p, wobei p die wsk für erfolg,
also hier p = 1/6,
-
Ja es tut es, weil es eine Chauchy-Folge ist.
-
Die Bestimmung experimentell mit Excel beweisen zu wollen halte ich für sehr gefährlich, da Excel immer rundet! Es müsste eine mathematische Herleitung vorliegen…
Weshalb die Lösung von M.L. richtig war.
Trotzdem Danke für deine Antwort.
Wie gut ist eigentlich folgender Beweis?
Bei n Würfen ist die Anzahl der gewürfelten 6en:
N=\frac{1}{6}\cdot n.
Damit ist der durchschnittliche Abstand zwischen den Würfen:
E(X)=\frac{Gesamtanzahl}{Anzahl-der-6en}=\frac{n}{\frac{1}{6}\cdot n}=6
Weshalb die Lösung von M.L. richtig war.
Zuviel der Ehre, aber das war mehr intuitiv geraten 
mfg M.L.
Hallo,
also eigentlich müsste das völlig korrekt sein.
Ob ein Lehrer das in einer Klassenarbeit akzeptieren würde wenn ihm der andere Weg vorschwebt, ist eine andere Sache.
Schönes Wochenende allerseits.
Olaf
hi,
- Die Bestimmung experimentell mit Excel beweisen zu wollen
halte ich für sehr gefährlich, da Excel immer rundet! Es
müsste eine mathematische Herleitung vorliegen…
wer will denn sowas? ich nicht.
ich hab dir genau angegeben, was der grenzwert war. eine berechnung mit einem rechner (oder einer tabellenkalkulation) kann hinweise geben, aber ersetzt natürlich keinen beweis. das hat aber nix mit dem runden zu tun, sondern mit dem prinzip.
m.
Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, ist beim exakten Würfel für jede Zahl gleich (1/6). Bei jedem weiteren Wurf ist die Wahescheinlichkeit für eine 5 natürlich genau so groß. Zwar nähern sich bei hinreichend langer Spielzeit die Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlchkeiten an. Aber eigentlich ist jeder Wurf für sich selbst zu sehen. So sind 3 Fünfen hintereinander genau so möglich, wie 10 mal gar keine. Für die Wahrscheinlichkeit ist das kein Unterschied. Es könnte zwar bei 6 Würfen eine Fünf dabei sein, muss aber nicht, da das Etgebnis des Wurfs vom vorherigen unabhängig ist. Erst bei sehr vielen Versuchen wird man annähernd Gleichverteilung haben.
Und der Mond ist grün.