Hallo!
Ich habe eine Frage zum Thema stochastische Unabhängigkeit. Es gilt ja bekannterweise die Regel:
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, folgt
E(A * B) = E(A) * E(B)
Die Umkehrung jedoch ist im Allgemeinen falsch.
Gibt es hierfür ein (einfaches) Gegenbeispiel oder gar einen Beweis?
Vielen Dank für die Hilfe,
Claas
Auch hallo.
Sind zwei Ereignisse A und B stochastisch unabhängig, folgt
E(A * B) = E(A) * E(B)
Stimmt. Allgemein gesagt cov(x,u) = E(xu) - E(x)E(u) (x,u statt A,B)
Die Umkehrung jedoch ist im Allgemeinen falsch.
Assenmacher Einführung in die Ökonometrie Seite33
„…Sind zwei Zufallsvariablen stochastisch unabhängig, so liegt auch keine Korrelation vor; die Umkehrung gilt jedoch nur bei normalverteilten Zufallsvariablen. In anderen Fällen kann man aus einer Kovarianz von null, die „keine Korrelation“ bedeutet, nicht auf stochastische Unabhängigkeit geschlossen werden. …“
Stichwort: aus Korrelation folgt nicht die Kausalität…
Gibt es hierfür ein (einfaches) Gegenbeispiel oder gar einen
Beweis?
Vielleicht die Exponential-Verteilung bei der Lebensdauer Berechnung…?
HTH
mfg M.L.
***Werbung***
Schlagwort „Praxis der wissenschaft“ bei google.de: http://www.google.de/search?hl=de&q=%22Praxis+der+Na…
http://de.news.yahoo.com/050405/295/4hbxy.html
Exponentialverteilung: kein gutes Beispiel
Hi,
in der Zuverlaessigkeitstheorie
die Exponentialverteilung ist sozusagen Synonym fuer Zufall, also stochastische Unabhaengigkeit.
Ein einigermassen anschauliches Keispiel fuer Korrelation =0 UND stochastisch nicht unabhaengig finde ich leider auch nicht.
Vermutlich ist das nur ein akademischer Fall, der nur bei bestimmten Einzelwertkonstellationen eintritt.
In der Praxis wird mit Korrelationen nahe bei Null immer eine weitgehende stochastische Unabhaengigkeit einhergehen.
(bewusst schwammig formuliert)
Gruss,
Einfaches Gegenbeispiel
Hallo Claas,
betrachte folgendes einfache Beispiel: Variable X nimmt die Werte 1,2,3 an und Variable Y die Werte 1 und 2 mit folgender gemeinsamer Verteilung:
| 1 2 3
\_\_|\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
1 | 0.25 0 0.25
2 | 0 0.5 0
Dann sind X und Y unkorreliert, aber nicht unabhängig (wie du durch einfaches Ausrechnen der Kovarianz und der Randverteilungen sofort siehst).
Allgemein misst ja die Korrelation nur lineare Zusammenhänge, d.h. bei nichtlinearen (quadratischen, exponentiellen usw.9 Beziehungen zwischen den Variablen tritt durchaus häufiger Unkorreliertheit auf, obwohl die Variablen stochastisch nicht unabhängig sind.
Gruß
Katharina