ich möchte gerne die Abstrahlungsverluste bei einem
Parabolrinnenabsorber abschätzen. Bei einer dimensionierten
Eingangstemperatur(z.B 400°C) und Ausgangstemperatur (z.B.
200°C)des Fluides durch ein Absorberrhor der Länge l soll das
passieren.
Nach Boltzman-Gesetz wäre der Strahlungsverlust
Qv= ε*σ*(TA^4-TU^4)*A
A…Absorberfläche m^2 =(pi*(ra^2-ri^2))
ε… Emissionsgrad Absorber
σ… Boltzman-Konstante 5,67*10^-8 W/(m^2*k^4)
TA…Absorbertemperatur k
TU…Umgebungstemperatur evtl. 20°C
Über die gesamte Rohrlänge l erhöht sich die Temperatur.
Qv= ε*σ*A∫T^4 dl (in den Grenzen von l bis 0)
Die Absorberfläche und Boltzman-Konstante sind konstant.
Epsilon ist zwar von T abhängig (Wiensches
Verschiebungsgesetz)wird aber auch erstmal als konstant
angenommen.
Ich habe mir jetzt mal ein paar Gedanken darüber gemacht, wie man hier doch noch zu Ziel kommt. Am besten sollte das über die Wärmebilanz gehen und da die Abstrahlung vom Temperaturprofil und das wiederum von der Sonneneinstrahlung abhängt, habe ich letztere gleich mit berücksichtigt. Die Temperaturabhängigkeit der Absorption berücksichtige ich in erster Näherung durch verschiedene Emissionsgrade in den jeweiligen Temnperaturbereichen. Insgesamt werden folgende Varialen verwendet:
I0…lokale Energiestromdichte des Sonnenlichtes
εS…Emissionsgrad im Bereich des Sonnenspektrums (einschließlich Geometriefaktor)
εA…Emissionsgrad im Bereich der Absorbertemperatur
εU…Emissionsgrad im Bereich der Umgebungstemperatur
σ…Boltzman-Konstante
T…lokale Absorbertemperatur
T0…Eingangstemperatur des Absorbers
ΔT…Temperaturdifferenz zwischen Eingang und Ausgang des Absorbers
T∞…Grenztemperatur am Ausgang des Absorbers
ΔT∞…maximale Temperaturdifferenz zwischen Eingang und Ausgang des Absorbers
TU…Umgebungstemperatur
f…Verstärkungsfaktor des Relektors
r…Radius des Absorbers
l…Länge des Absorbers
ρ…Dichte des Wärmeträgers
csp…spezifische Wärmekapazität des Wärmeträgers
v…Strömungsgeschwindigkeit des Wärmeträgers
Um die gesamte Strahlungsleistung anschließend durch Integration über die Rohrlänge zu erhalten, formuliere ich die Wärmebilanz für die Ableitung der Leistungen nach der Rohrlänge:
Leistung der abgestrahlten Wärme:
PA’ = -εA·σ·T4·2·π·r
Leistung der eingestrahlten Umgebungswärme:
PU’ = εU·σ·TU4·2·π·r
Leistung der eingestrahlten Solarenergie:
PS’ = εS·f·I0·2·π·r
Leistung der durch das Medium abgeführten Wärme (ohne Berücksichtigung des Wärmetransportes von der Absorberoberfläche in das Medium):
Pfl’ = -T’·v·csp·ρ·π·r2
Wenn es keine zusätzlichen Wärmequellen oder -senken gibt muss die Summe im stationären Fall sowohl für die Ableitungen als auch für die Integrale verschwinden:
PA’ + PU’ + PS’ + Pfl’ = 0
PA + PU + PS + Pfl = 0
Nun zur Integration:
Im Falle der eingestrahlten Leistungen ist das einfach, weil sie über die gesamte Länge des Absorbers konstant sind:
PU = l·εU·σ·TU4·2·π·r
PS = l·εS·f·I0·2·π·r
Die Leistung, die an einem bestimmten Punkt des Absorbers in das Medium übergeht ist zwar von der dortigen Temperatur abhängig, aber die Integration ist hier trotzdem sehr einfach:
Pfl = -ΔT·v·csp·ρ·π·r2
Prinzipiell habe ich damit schon die gesuchte Lösung:
PA + PU = -(PS + Pfl)
In Deinem Fall (also ohne Sonneneinstrahlung) wäre das ganz einfach
-Pfl = ΔT·v·csp·ρ·π·r2
Die Strahlungsbilanz entspricht (erwartungsgemäß) genau der Wärme, die das Medium verliert. Um das zu berechnen brauche ich allerdings die Temperaturdifferenz ΔT. Die könnte man zwar vorgeben oder messen, aber da ich mir bis hierhin schon so viel Arbeit gemacht habe, versuche ich die auch noch aus der Wärmebilanz herauszuquetschen. Dazu stelle ich die Summe der Ableitungen nach T’ um und erhalte so eine Differentialgleichung für das Temperaturprofil:
T’ = 2·(εS·f·I0+εU·σ·TU4-εA·σ·T4)/(v·csp·ρ·r)
Wenn ich die Konstanten zusammenfasse
a = 2·(εS·f·I0+εU·σ·TU4)/(v·csp·ρ·r)
b = 2·εA·σ/(v·csp·ρ·r)
sieht das schon etwas übersichtlicher aus:
T’ = a - b·T4
aber leider lässt sich das trotzdem nicht so einfach analytisch lösen. Deshalb habe ich es mal numerisch probiert und festgestellt, dass die Lösung so ähnlich aussieht, wie
T(x) ≈ T0+ΔT∞·[1-exp(-k·x)]
Um die Lösung der Differentialgleichung durch diese Näherung zu ersetzen, muss ich die passenden Parameter ΔT∞ und k bestimmen. ΔT∞ ist die Differenz zwischen der Grenztemperatur T∞ am Ausgang und der Eingangstemperatur T0:
ΔT∞ = T∞-T0
Die Eingangstemperatur wird vorgegeben und die Grenttemperatur liefert mir die Differentialgleichung für T’=0:
T∞ = (a/b)0,25
Den Parameter k wähle ich so, dass der Temperaturgradient am Eingang des Absorbers mit der exakten Lösung übereinstimmt:
k = (a-b·T04)/ΔT∞
Ein Vergleich dieser Näherung mit der exakten Lösung der Differntielgleichung liefert eine überraschend gute Übereinbstimmung mit nur wenigen prozent Abweichung für realistische Werte. Damit kann nu auch die Temperaturdifferenz zwischen Ein- und Ausgang und schließlich die abgestrahlte Leistung abgeschätzt werden.