Straßenverlängerung per Sinuskurve

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo auch…

Als ich am Montag aufgrund schönen Wetters per Fahhrad zur Arbeit gefahren bin kam mir auf einer Straße ein Arbeiter mit einem Messrad entgegen. So ein Teil mit eingebautem Kilometerzähler.
Die strecke, die er damit abrollen sollte war ziemlich gerade (es war die frisch gemalte Linie der Fahrradspur). Nur der Weg, den er nahm nicht. Er eierte mal links, mal rechts an der Linie vorbei.
Und ich frag mich jetzt, wieviel Abweichung von der tatsächlichen Wegeslänge er wohl produziert haben mag.
Um es anzunähern würd ich den Weg jetzt als Sinuskurve mit einer Wellenlänge von 5 Metern und einer Amplitude von 40 cm beschreiben wollen.
Sprich:
Nach 1,25 m ist er 20 cm links vom Strich,
Nach 2,50 m ist er wieder auf dem Strich und
Nach 3,75 m liegt er 20 cm rechts daneben…

Und nun verlässt mich meine Schulbildung - ist einfach schon zu lange her (und gebraucht hab ichs seitdem einfach nicht…)
Wie krieg ich jetzt raus, wieviele Meter Meter der Kerl gerollt ist, um 100 Meter „Luftlinie“ zu überbrücken…?

Gruß
KB

#2

netten guten Abend.

http://www.mathepedia.de/Bogenlaenge_Anwendungen.aspx

lg Peppperl

#3

Hi,

Kurve ist ( x, 40*sin(2*pi*x/500) ), alles in Zentimetern.

Ableitung der Kurve ist ( 1, 4*pi/25*cos(2*pi*x/500) ),

die Weglänge über eine halbe Periode ist

\int_0^{250}\sqrt{1+\frac{16,\pi^2}{625}\cos^2(2\pi,x/500) }dx

\frac{250}{\pi};\int_0^\pi \sqrt{1+\frac{16,\pi^2}{625}\cos^2(u) }du

Das kann nur numerisch ausgerechnet werden, da das Integral vom Typ „elliptisches Integral“ ist. Im Inernet kann man Wolfram alpha (Mathematica) bemühen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt%…

und erhält 3,3315=1,06045*pi für das Integral ohne den Vorfaktor. Mit Vorfaktor also eine Länge von 250*1,06045. Die Schlangenlinie ist daher etwa 6% länger als die gerade Linie.

Gruß Lutz

#4

Hallo Lutz,

und erhält 3,3315=1,06045*pi für das Integral ohne den
Vorfaktor. Mit Vorfaktor also eine Länge von 250*1,06045. Die
Schlangenlinie ist daher etwa 6% länger als die gerade Linie.

da sagt der Fragesteller, daß er von Mathe nicht mehr viel versteht und Du
präsentierst ihm komplizierte nicht lösbare Integrale.
(sicher hat er die Sinuskurve eingebracht)
Außerdem ist Dein Ergebnis weit von der richtigen Länge entfernt.
Am einfachsten ist die Lösung über den Bogenabschnitt eines Kreises für
den Fragesteller nachvollziehbar.
Radius ermitteln,Winkel errechnen (auch über arcsin) und dann die Bogenlänge.
Hier ist alles:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreisabschnitt
Ich habe hier,für das Kreissegment mit s=2,50,h=0,20m
r=4,006m
alpha=2*arcsin(1,25/4,006)=0,6346 rad
r*alpha=b=2,5425
Das sind nur 1,7% mehr als die gerade Verbindung nicht 6%.
Gruß VIKTOR

#5

OT & Hallo

Als ich am Montag aufgrund schönen Wetters per Fahhrad zur

Mein Verdacht übrigens, daß auch Radfahrer (aus Stabilitätsgründen) etwas eiern; vielleicht eine Art „Schlangenlinie“? Ernsthafte Grüße

#6

Hossa :smile:

Um es anzunähern würd ich den Weg jetzt als Sinuskurve mit
einer Wellenlänge von 5 Metern und einer Amplitude von 40 cm
beschreiben wollen.
Sprich:
Nach 1,25 m ist er 20 cm links vom Strich,
Nach 2,50 m ist er wieder auf dem Strich und
Nach 3,75 m liegt er 20 cm rechts daneben…

Eine Sinus-Linie ist hier keine gute Näherung. Der Sinus steigt am Anfang relativ stark an. Das passt aber nicht zur Bewegung des Messrades. Die Abweichung von der geraden Linie ändert sich eher kontinuierlich. Daher schlage ich eine lineare Näherung vor.

Nach deinen Angaben erhalte ich dann ein rechtwinkliges Dreieck. Die eine Kathete ist 1.25m lang, die andere 0.2m. Die Hypothenuse lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:

\sqrt{(1.25,\text{m})^2+(0.2,\text{m})^2}\approx1,2659,\text{m}

Die Länge wird daher um etwa 1,3% zu groß gemessen (1,2659/1,25-1).

Viele Grüße

Hasenfuß

#7

Hi.

Hossa :smile:

Eine Sinus-Linie ist hier keine gute Näherung. Der Sinus
steigt am Anfang relativ stark an. Das passt aber nicht zur
Bewegung des Messrades. Die Abweichung von der geraden Linie
ändert sich eher kontinuierlich. Daher schlage ich eine
lineare Näherung vor.

Der Sinus steigt am Anfang recht stark an? Was meinst du mit „Anfang“? Und wie kann man sagen, dass der Sinus stark ansteigt? Die maximale Steigung des Sinus hängt doch mit dem Verhältnis von Amplitude und Wellenlänge zusammen, was hier recht niedrig ist (~0,1). Das ergibt Wellen ohne „starken Anstieg“.

Nach deinen Angaben erhalte ich dann ein rechtwinkliges
Dreieck. Die eine Kathete ist 1.25m lang, die andere 0.2m. Die
Hypothenuse lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:

\sqrt{(1.25,\text{m})^2+(0.2,\text{m})^2}\approx1,2659,\text
{m}

Die Länge wird daher um etwa 1,3% zu groß gemessen
(1,2659/1,25-1).

Die Annäherung mit dem Dreieck ist eine gute Überlegung, da kannst du aber auch gleich einen Sinus bemühen (auch wenn die Dreiecksversion einfacher zu berechnen ist)! Oben beschwerst du dich über den starken Anstieg am Anfang des Sinus und hier benutzt du Dreiecke, die an den größten Auslenkungspunkten jede halbe Periode einen abrupten, harten Richtungswechsel macht. Da ist der Sinus wesentlich näher dran, da es sich hier um die Bewegung eines Lebewesens handelt (welches kein Hase, oder ein ähnlich agiles Tier, ist ^^ ) und so ein Messrad eine Bewegung in Dreiecken garnicht erlaubt, ohne alle paar Meter stehenzubleiben um das Messrad neu auszurichten.

Viele Grüße

Hasenfuß

MfG,
TheSedated