Streckenberechnung =(

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 17:43

Hi,
der Titel hört sich ja nicht schwierig an ^^ Doch zumindest komm ich zu keinem Lösungsansatz …
Doch erst einmal die Aufgabe :

_f(x) = ( x^2 +1 ) / ( x^2 -1)
Das Schaubild der Funktion ist K.

g1 und g2 sind zwei Parallelen zur x-Achse, die jeweils den Abstand a mit a>1 zur x-Achse haben.
Das Schaubild K schneidet aus g1 und g2 zwei Strecken mit den Längen s1 und s2 aus.
Zeigen Sie, dass das Produkt s1*s2 unabhängig von a ist._

Jetzt muss ich ja irgendwie diese Schnittpunkte herausfinden und das a sollte möglichst dabei sein. Ich gehe auch davon aus, dass sich das a rauskürzen wird bei der Multiplikation womit bewiesen wäre, dass das Produkt von a unabhängig ist.
Mehr „weiß“ ich allerdings nicht und einen konkreten Lösungsansatz hab ich auch nicht finden können =(

Es wäre also nett, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet wie ich diese Aufgabe lösen kann =)

Viele Grüße
freaky

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 20:34

Hi,
will mir keiner helfen oder kann mir keiner helfen ?

Grüße
freaky

Anonym_d5503925c587 · 26. Februar 2008 um 20:51

Hi…

f(x) = ( x^2 +1 ) / ( x^2 -1)
Das Schaubild der Funktion ist K.

g1 und g2 sind zwei Parallelen zur x-Achse, die jeweils den
Abstand a mit a>1 zur x-Achse haben.
Das Schaubild K schneidet aus g1 und g2 zwei Strecken mit den
Längen s1 und s2 aus.
Zeigen Sie, dass das Produkt s1*s2 unabhängig von a ist.

Die Aufgabe ist nicht 100% sauber gestellt. Es fehlt ein Hinweis darauf, daß g1 und g2 nicht identisch sind.

Jetzt muss ich ja irgendwie diese Schnittpunkte herausfinden

Ein möglicher Ansatz geht so:

Es seien x₁,y₁ und x₂,y₂ die beiden Schnittpunkte von g₁ bzw. g₂ und K rechts der Y-Achse.
Es gelte oBdA y₁ = a und y₂ = -a.

Daraus folgt

 x<sub>1</sub>²+1 x<sub>2</sub>²+1
------- = ------- und schon ist das a weg :smile:
 x<sub>1</sub>²-1 x<sub>2</sub>²-1

Das lässt sich umformen zu einem Term, der besagt, daß x₁ * x₂ konstant ist. Aufgrund der Symmetrie der Funktion gilt dasselbe auch für die linke Seite.

Mehr will ich erstmal nicht sagen.

genumi

Anonym_d5503925c587 · 26. Februar 2008 um 20:54

Hi…

will mir keiner helfen oder kann mir keiner helfen ?

Wenn Du mir so kommst, will ich wirklich nicht mehr

genumi

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 21:02

Falsch verstanden
Hi,
Der Post war schon vor deinem da ( Beachte die Uhrzeit ) Es war also keine Antwort auf deine Hilfe für die ich mich seeehr bedanken möchte !!
Ich hab allerdings noch ein paar Fragen:
Warum kann man dies so festlegen ? :

Es gelte oBdA y₁ = a und
y₂ = -a.

Weil a ist ja größer 1. Dann wäre -a ja kleiner 1 oder nicht ? bzw neg. !!

Und warum betrachten wir eigentlich nur den Teil rechts der x-Achse…
Es ist symmetrisch das ist mir klar. Aber für eine Strecke brauche ich ja eigentlich 2 Punkte und Du hast hier ja nur jeweils einen Punkt verwendet.

Viele Grüße & Danke für Deine Hilfe
freaky =)

michael_f7f5bc · 26. Februar 2008 um 21:11

hi,

geduld, geduld … wir hier haben nicht immer zeit & gelegenheit. eine wartezeit von 3, 4 stunden kann schon mal passieren.

_f(x) = ( x^2 +1 ) / ( x^2 -1)
Das Schaubild der Funktion ist K.

g1 und g2 sind zwei Parallelen zur x-Achse, die jeweils den
Abstand a mit a>1 zur x-Achse haben.
Das Schaubild K schneidet aus g1 und g2 zwei Strecken mit den
Längen s1 und s2 aus.
Zeigen Sie, dass das Produkt s1*s2 unabhängig von a ist._

naja: du brauchst die schnittpunkte von f (bzw. K) mit g1 und g2.

schaumermal (© f. beckenbauer) die obere gerade an.
g1 = a; g2 = -a

dann gilt für die schnittpunkte von g1 mit f:
a = (x² + 1) / (x² - 1)

das kannst du umformen zu:
x = ±Wurzel((a+1)/(a-1)), nämlich den linken (mit -) und rechten (mit +) schnittpunkt.

s1 = 2 * Wurzel((a+1)/(a-1))

wenn du dir das ganze mit g2 anschaust, wirst du feststellen:

x = ±Wurzel((a-1)/(a+1))

also:
s2 = 2 * Wurzel((a-1)/(a+1))

und jetzt multiplizier s1 mit s2 … da bleibt kein a über und kein auge trocken.

hth
m.

Anonym_d5503925c587 · 26. Februar 2008 um 21:13

Hi…

Der Post war schon vor deinem da ( Beachte die Uhrzeit )

Ich weiß. Ändert nichts an meinem Ärger über Deine Ungeduld.

Egal - Schwamm drüber.

Ich hab allerdings noch ein paar Fragen:
Warum kann man dies so festlegen ? :

Es gelte oBdA y₁ = a und
y₂ = -a.

Weil a ist ja größer 1. Dann wäre -a ja kleiner 1 oder nicht ?

Das war, was ich an der Aufgabe bemängelt hatte. Gemeint ist, daß eine Gerade oberhalb, eine unterhalb der X-Achse liegt, aber das geht aus dem Text nicht eindeutig hervor. Der Abstand zur X-Achse ist zB auch dann 2 (also > 1) wenn die Gerade bei y = -2 liegt.

Und warum betrachten wir eigentlich nur den Teil rechts der
x-Achse…
Es ist symmetrisch das ist mir klar. Aber für eine Strecke
brauche ich ja eigentlich 2 Punkte und Du hast hier ja nur
jeweils einen Punkt verwendet.

Der x-Wert dieses einen Punktes ist der Abstand dieses Punktes von der Y-Achse. Sein Spiegelbild hat denselben Abstand zur Y-Achse. D.h. s₁ = 2 x₁.

genumi

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 21:21

Noch eine Sache
Hi,
Vielen Dank ! Die Erklärung ist echt super ! Das versteht man sofort =)

Du hast noch geschrieben :

x1²+1 x2²+1
------- = ------- und schon ist das a weg
x1²-1 x2²-1

Warum kann ich das jetzt gleich setzten ? Denn die eine Gerade liegt ja jetzt z.B. unter der x-Achse. Dann ist der Funktionswert doch nicht gleich ?!

Viele Grüße
freaky
( ich hoffe mal meine Fragen sind nicht all zu dumm ) ^^

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 21:34

Alles Geklärt
Hi Micheal !,
ja genumi hat meine Ungeduld auch schon bemängelt… ) ^^ Ich hatte einfach schon so lange dran rumgemacht, dass ich jezt endlich mal eine Lösung haben wollte, da ich selber keine gefunden habe. Also nicht so ernst nehmen bitte =)

Deine Erklärung war super und jetzt hab ich das komplett kapiert =)

Vielen Dank an Dich Michael
und natürlich auch an genumi

I love WWW
Grüße
freaky

Anonym_d5503925c587 · 26. Februar 2008 um 21:41

Hi…

> x1²+1 x2²+1  
> ------- = ------- und schon ist das a weg :smile:  
> x1²-1 x2²-1

Warum kann ich das jetzt gleich setzten ? Denn die eine Gerade
liegt ja jetzt z.B. unter der x-Achse. Dann ist der
Funktionswert doch nicht gleich ?!

Sehr aufmerksam. Der Fehler liegt bei mir, ich hatte das Minus beim Abtippen vergessen

genumi

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 21:46

! Umformung ?!!
Hallo,
ich forme gerade das hier um :
a = (x² + 1) / (x² - 1)

und habe jetzt
a (x² -1 ) = x² + 1
ax²-a = x²+1

Doch wie bekomme ich dieses a von den x los … Mach ichs links weg kommts rechts in Nenner =(

Viele Grüße

michael_f7f5bc · 26. Februar 2008 um 21:57

hi,

ax²-a = x²+1

alle x auf eine seite, alles andere auf die andere, herausheben, durchdividieren, wurzel ziehen.
m.

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 22:08

Hi Michael,
das das x auf eine Seite muss und der Rest auf die andere ist mir schon klar. Nur nicht wie ich das anstelle ^^
Denn teile ich nun durch x2 erhalte ich ja

a - a /x2 = x + 1 /x2

Und das bringt mich ja nicht weiter =(

Viele Grüße
freaky

P.S.
Warum gibts bei WWW eigentlich keinen Edit Button ? ^^

[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]

michael_f7f5bc · 26. Februar 2008 um 22:21

herausheben, durchdividieren, wurzel ziehen.
m.

Hi Michael,
das das x auf eine Seite muss und der Rest auf die andere ist
mir schon klar. Nur nicht wie ich das anstelle ^^
Denn teile ich nun durch x2 erhalte ich ja

a - a /x2 = x + 1 /x2

wieso durch x teilen? lös dich von dieser fixierung. forget it!

ax²-a = x²+1

ax² - x² = 1 + a

usw.
m.

freaky_b795f2 · 26. Februar 2008 um 22:30

Hi Michael
Danke für den Tip Manchmal denkt man einfach zu dumm *g* und kommt nicht auf die eigentlich doch offensichtliche Lösung ^^ =)

Viele Grüße und einen schönen Abend
freaky