Hallo,
Parallelen treffen sich tatsächlich im Unendlichen.
Aber um das zu zeigen, muss man den Anschauungsraum, also die Ebene etwas erweitern. Das ist ohne Zeichnung eigentlich ziemlich schwer zu erklären, aber ich versuchs mal:
Schritt 1: Lege die Ebene in einen 3dimensionalen Raum, also die xy-Ebene, im xyz-Koorinatensystem
Schritt 2: Hebe die Ebene um 1 an, sodass alle Punkte der Ebene jetzt Positionen wie (x,y,1) haben
Schritt 3: Stell dir jetzt einen Laser im Ursprung vor, der den ganzen Raum abtasten kann.
Dann gibt es zwei Fälle:
a) Wenn der Strahl NICHT in (x,y,0) Ebene liegt, geht er durch einen Punkt in der (x,y,1) Ebene. [=„endlicher, affiner Raum“]
b) Wenn er in der (x,y,0) Ebene liegt, schneidet er entweder irgendwo die Gerade (1,x,0) oder den Punkt (0,1,0) [=„unendlich ferne Gerde“]
Schritt 4: Beschreibe ab heute Kurven nicht mehr direkt durch die Punke auf der Kurve selbst, sondern durch die Position des Lasers! Beachte wie sich die Stellung der Lasers verändert wenn man die Kurve damit abtastet.
Und nun folgendes Experiment:
Stell dir eine zur y-Achse parallele Gerade in der Ebene (x,y,1) vor und taste sie mit deinem Laser ab. Dabei senkt sich Laser immer weiter ab und liegt schließlich (quasi im Unendlichen) in der (x,y,0) und geht da durch den Punkt (0,1,0). Die Gerde geht also im Unendlichen durch den Punkt (0,1,0)
Und schließlich stellt man fest: ALLE zur y-Achse parallelen Geraden in der (x,y,1) Ebene gehen im Unendlichen durch diesen Punkt. Ergo: der Punkt (0,1,0) ist der Gemeinsame schnittpunkt aller parallen Geraden (parallel zur y-Achse)
Analoge Ergebnisse bekommst du, wenn du andere nicht zur y-Achse parallele Gerade betrachtest.
Ich hoffe, es wurde klar.
Gruß
Oliver
