hallo
ich hab hier ein problem mit einer aufgabe zur substitution,und zwar haben wir im unterricht folgende aufgabe besprochen, aber leider weiß ich nicht wie man bei dieser polynomfunktion die nullstelle ermittelt bzw, wie die lehrerin auf folgende nullstelle gekommen ist??
f(x)= 2x^4- 7x²- 4
(z)= 2z²- 7z- 4
z=4 ; z=-0,5 also bis hierhin ist klar, aber als nullstelle haben wir folgendes raus:
{2;-2}
keine ahnung wie man darauf kommt, denn ich hätte eher gedacht,dass -4; +4 die nullstellen sind, dann haben ich noch die lösungen von dieser aufgabe und darauf steht:
0=(x²-4) (2x²+1)
nun kapier ich gaaaaaar nix mehr
kann mir da jemand bitte weiterhelfen, ich bin so verzweifelt…eine ausführliche erkärung mit allen lösungen wäre echt super
danke im voraus
lg
Liebe Sara_k,
damit kenne ich mich leider auch nicht aus! Ich weiß auch ehrlich gesagt gar nicht was für nnullstellen du meinst! Liebe Grüße, Stefanie
Hallo Sara,
(ich hoffe, das ist noch interessant - leider eben erst gelesen)
Bei der Substitution tauscht Du quasi ein x² durch z aus. Damit gilt: z=x²
Wenn Du mit diesem Hintergrundwissen nun an folgende Aufgabe herangehst: f(x)=2x^4-7x^2-4, dann tauscht du erst einmal alle x^2 durch z:
f(z)=2z^2-7z-4 (soweit klar? 1z entspricht ja 1x^2)
mit p/q oder mitternachtsformel:
(7\pm\sqrt[2]{(-7)^2-4*2*(-4)})/(2*2)
(7\pm\sqrt[2]{81})/(4)
erhälst du als mögliche Ergebnisse:
4; -0,5
Nun kommt aber der Kniff!
Denn das sind die Ergebnisse für z - nicht für x!
Das heisst also:
z=x² und z haben wir ja ermittelt = 4
Einsetzen:
4 = x²
Ausrechnen:
x1=-2; x2=+2
z=-0,5 ist in R nicht definiert - daher macht es keinen Sinn, diese Richtung an der Stelle weiter zu verfolgen.
Zu der anderen Lösung: 0=(x²-4) (2x²+1)
Das ist einfach eine Zerlegung des vorhandenen Terms in Linearfaktoren.
Die Nullstellen sind hier sehr schnell und einfach ermittelt, da nur eine der beiden Klammern 0 ergeben muß, damit das Gesamtergebnis 0 ergibt (Satz vom Nullprodukt - wird einer der beteiligten Faktoren 0, so wird das Gesamtergebnis 0).
Also ermittelst Du:
x²-4 = 0 => x1=2; x2=-2
2x²+1 = 0 => Das ist in R nicht lösbar, da hier immer etwas > 0 rauskommt (negatives x wird durch das Quadrat immer positiv)
Vielleicht hats - wenn auch spät - noch irgendwie was geholfen?