Hallo!
Ich habe ein großes Problem mit der Lösung eines Integrals.
Folgendes Intergal kann ich nicht komplett lösen:
Int(sqrt(1+x^2).
Ich habe zunächst folgende Schritte durchgeführt:
x=sinh u, dx/du=cosh u, dx=cosh u du.
Einsetzten in die Ausgangswurzel:
sqrt(1+cosh^2u).
Hier ist jetzt mein Problem. Gibt es ein Additionstheorem oder vielleicht eine direkte Definition für 1+cosh^2u?
Danke schon mal.
Gruß Daniel
Hallo!
Ich habe ein großes Problem mit der Lösung eines Integrals.
Folgendes Intergal kann ich nicht komplett lösen:
Int(sqrt(1+x^2).
Ich habe zunächst folgende Schritte durchgeführt:
x=sinh u, dx/du=cosh u, dx=cosh u du.
Einsetzten in die Ausgangswurzel:
sqrt(1+cosh^2u).
Hi Daniel,
bist Du Dir sicher, dass Du Dich da beim Einsetzen nicht vertan hast?
Bei mir kommt da
Int(sqrt(1+sinh²(u))\*cosh(u)du heraus, wobei man mit
cosh² - sinh² = 1 =\> cosh = (sqrt(1+sinh²) auf
Int( cosh²(u) du ) kommt.
Dann würde ich statt cosh²(u) einfach 1/4 \* ( e^(+x) + e^(-x) )²
schreiben denn die e^x lassen sich ja einfach integrieren.
Hoffe es hilft Dir, wenn nicht dann frag noch einmal.
Gruß, Flexie
Hi Flexie!
Hmm…also, den Tipp mit dem Einsetzen habe ich aus dem Papula. Da ist in etwa das gleiche Integral angegeben, nur eben mit -x^2. Die nutzen das selbe Einsetzverfahren wie ich auch.
Problem ist, dass ich bei Deinem Vorschlag nicht auf die richtige Lösung des Integrals komme, die mir z.B. Maple ausspuckt…
Daniel
Hi Daniel,
bist Du Dir sicher, dass Du Dich da beim Einsetzen nicht
vertan hast?
Bei mir kommt daInt(sqrt(1+sinh²(u))*cosh(u)du heraus, wobei man mit
cosh² - sinh² = 1 => cosh = (sqrt(1+sinh²) auf
Int( cosh²(u) du ) kommt.
Dann würde ich statt cosh²(u) einfach 1/4 * ( e^(+x) + e^(-x)
)²
schreiben denn die e^x lassen sich ja einfach integrieren.Hoffe es hilft Dir, wenn nicht dann frag noch einmal.
Gruß, Flexie
Hallo Daniel,
Ich habe ein großes Problem mit der Lösung eines Integrals.
Folgendes Intergal kann ich nicht komplett lösen:
Int(sqrt(1+x^2).
Ich habe zunächst folgende Schritte durchgeführt:
x=sinh u, dx/du=cosh u, dx=cosh u du.
ja, „sinh“ ist die richtige Substitution. Die Beziehung, die Du ausnutzen willst, ist 1 + sinh^2 = cosh^2, denn cosh^2 ist im Gegensatz zu 1 + x^2 ein äußerst angenehmer Radikant.
Einsetzten in die Ausgangswurzel:
sqrt(1+cosh^2u).
Wieso? Du substituierst doch mit sinh?
Integral sqrt(1+x^2) dx
= Integral sqrt(1 + sinh^2(u)) cosh(u) du
= Integral sqrt(cosh^2(u)) cosh(u) du
= Integral cosh^2(u) du
Eine Stammfunktion zu cosh^2 läßt sich mittels partieller Integration bestimmen. Ergebnis: 1/2 (sinh u cosh u + u).
Falls es noch irgendwo hakt, stelle Deine Fragen einfach hier.
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Daniel,
hier eine Lösung von einem ehemaligen Mitglied von w-w-w, der mich bat, sie weiterzuleiten. Ich hab’s nicht geprüft, aber er kennt sich mit Mathe recht gut aus. Er schreibt:
Meine ultimatiefe Idee ist folgende und scheint vielversprechend:
"schein"erweitern und Bruchzerlegung:
SqRt[1+x^2] =
(1+x^2)/SqRt[1+x^2] =
1/SqRt[1+x^2] + x^2/SqRt[1+x^2] =
1/SqRt[1-ix^2] + x^2/SqRt[1+x^2] = Int1 + Int2 und:
Int1 = i\*arcsin[ix]
Int2 = [xln(1+x^2)] - Int{ln(1+x^2)} =
ln(1+ix) + ln(1-ix) --\> "Int3"
Int3 = xln(1+ix) -ix - ln(1+ix)
Nur habe ich im Moment keine Rure, daß weiter/zuende zu führen.
Scheint mir aber machbar!!! Alles integrable Teile!
kleiner Zusatz, ich ließ nur aus, bitte als Zusatzbemerkung!
(es ist wieder einmal eine GENIAL TREFFENDE `banale´ LÖSUNG!!!)
"Int2 = [xln(1+x^2)] - Int{ln(1+x^2)} =
ln(1+ix) + ln(1-ix) --\> "Int3 + Int4"
DAS "+Int4 vergaß ich!!!
Int3 = xln(1+ix) - ix - ln(1+ix)"
Gruß Kubi
Int(sqrt(1+sinh²(u))*cosh(u)du heraus, wobei man mit
cosh² - sinh² = 1 => cosh = (sqrt(1+sinh²) auf
Int( cosh²(u) du ) kommt.
Dann würde ich statt cosh²(u) einfach 1/4 * ( e^(+x) + e^(-x)
)²
schreiben denn die e^x lassen sich ja einfach integrieren.
um nochmal da anzuknüpfen:
Integral( cos²(u) du) kannst Du entweder direkt aus einer Formelsammlung (z.B. aus der von Papula) ablesen => 1/2 u + 1/4 sinh (2u)
oder wenn Du keine hast machst Du den Zwischenschritt:
Integral(1/4 ( e^(2u) + 2\*e^(u-u) +e^(-2u)) du)
=
1/8 e^(2u) +x\*(1/2) - 1/8 e^(-2u)
=
1/2 u + 1/4 \* 1/2 \* (e^(2u)-e^(-2u) ) = 1/2 u + 1/4 sinh(2u)
wenn Du dann Deine Substitution noch rückgängig machst erhälst Du
mit u = arsinh(x) = ln(x+sqrt(x²+1))
=\>
1/2 arsinh (x) + 1/4 \* 1/2 \* (e^(2arsinh(x))-e^(-2arsinh(x)) )
1/2 ln(x+sqrt(x²+1)) + 1/8 (x+sqrt(x²+1))² - 1/8 (x+sqrt(x²+1))^(-2)
Und das läßt sich noch ein bisschen hin und her rechnen.
Was soll denn Deinem Maple nach herauskommen??