Hallo zusammen,
ich habe folgende Behauptung und hoffe, Ihr könnt sie mit Hilfe einer Formel beweisen.
Das Ergebnis der Subtraktion einer Zahl und ihrer „Spiegelzahl“ (mir fällt kein anderes Wort ein) ist immer durch 3 (i.W. Drei) teilbar.
Beispiele:
71 - 17 = 54
874 - 478 = 396
42851 - 15824 = 27027
u.s.w
Die einzige mir bekannte Ausnahme ist bei Zahlen, die aus gleichen Ziffern bestehen, da das Ergebnis immer 0 (i.W. Null) ist.
Danke im Voraus für Eure Antworten
Das Ergebnis der Subtraktion einer Zahl und ihrer
„Spiegelzahl“ (mir fällt kein anderes Wort ein) ist immer
durch 3 (i.W. Drei) teilbar.
Hallo,
das geht folgendermaßen: Zunächst einmal besitzt jede Zahl im Zehnersystem die folgende Darstellung:
a = Summe(i=0…n) 10^i * a_i
mit 0
Hilfe!! Ich bin doch nur Laie
Sorry, ich vergaß dazu zu schreiben, dass ich kein Mathematiker bin.
Mir ist dies einfach so mal aufgefallen.
Daher die Frage:
Ist dies auch für einen Laien verständlich darstellbar?
Falls nicht, trotzdem schon mal danke für die Mühe.
Gruß
R.
Mathlaien let´s meet to gather!
Lieber Rainer1965!
Du hast ja selbst nach einer Formel gefragt, also was beschwerst du dich? 
Und Christian hat dir („mathematisch“, wie sonst?) eine Herleitung/Beweis formuliert! (Danke übrigens für die „Elferwette“, kannte ich selbst noch garnicht!)
Ob man das auch (auch sich selbst) anschaulicher machen kann?
Nun, wir können es nur „anschaulichermachen“ (zusammengeschrieben: „aus der Abstraktion auf den Tisch bringen“), und zwar, nachdem wir es „selbst theoretisch verstanden haben“!
Ich versuchs mal:
Vorweg: bei deinen Beispielen ist immer die vordere Zahl (der „Minuend“?) die größere. Aber dazu später vielleicht.
Gehen wir von zweistelligen Zahlen aus:
Diese haben die Form z Zehner + e Einer.
Also den Zahlenwert z*10 + 1*e = 10z+e.
Deine „verkwerte Form“ hat den Wert 10e+z, und wenn du nun die Differenz bildest 1oz+e-10e-z, dann erhälst du ja nach Eva Zwerg 9z-9e = 9*(z-e), also Vielfaches von 9 sogar! Vergleiche deine Beispiele bitte!
Ist dir das schon aufgefallen? Daß sogar vielfaches von 9 herauskommen tut?
„Matheamtisch“ ist das eigentlich nur eine Anwendung des „Distributivgesetzes“!
Übrigens stimmt deinme Einschränkung garnicht:
„Die einzige mir bekannte Ausnahme ist bei Zahlen, die aus gleichen Ziffern bestehen, da das Ergebnis immer 0 (i.W. Null) ist.“
Die Null läßt sich nämlich sogar am besten durch alles teilen! Nur durch null kann man nicht teilen (außer 0 selbst, aber das auch nur „nach Vereinbarung aller beteiligten“!
Und wie ist es nun bei mehrstelligen Zahlen, wo wir uns ja auf jedenfall zur Differenz der Endziffern „eins borgen“ müssen?
Wir haben also, entsprechend eben h*100+z*10+e*1 = 100h+z10+e, und die „Verkwerung“ 100e+10z+h, und deren Differenz:
100h+10z+e-100e-10z-h = 99h+ e-100e = 99h-99e = 99*(h-e)
und, auch wenn du die Differenz „verkehrtrum“ bildest, erhälst du ein Ergebnis, das durch 99, also auch durch 9 und 11 teilbar ist! OBACHT! Schaue noch einmalö auf deine Beispiele oben!!!
Und bei 4stelligen Zahlen?
1000t+100h+10z+e - 1000e-100z-10h-t = 999*(t-e)+90*(h-z)
ist ebenfalls durch 9 teilbar! Immer bleibt da ne neun, auch bei „höherstelligen“ Zahlen.
Die sind ja ganz schön anstellig, die Zahlen, wemman sie richtig zu nehmen weiß!
Richtig lustig wird es bei dem „Spiel“, das ich selbst erst hier kennengelernt (und dann selbst `erklärt´) und gerade im thread „Rechenspiele“ noch einmal untergebracht habe:
Das Spiel mit der „Kwermaxdifferenz“:
Nehme einme dreistellige Zahl und ordne sie zunächst einmal um in die Zifferngrößen-Ordnungen „absteigend“ und „aufsteigend“, Beispiel 492 --> 942 und 249
Nun bilde die Differenz, 942-249 = ? = 693
Nun wiederhole das mit dem Ergebnis: 963-369= ? = 594
Und damit bist du fertig! Du glaubst es nicht? Na dann wiederhole noch einmal! 954 - 459 = ???
Beweis habe ich wohl „an angegebenem Orte“ untergebracht.
Oder heißt es „aM angegebeneN Orte“?
Vielleich so nu in Irak?
Am amgebemem Orte findest du auch das „Streichholzhörspiel“ (was natürlich kein Streichholz-Hörspiel ist!), eine Vweranschaulöichung des von Christian liebenswürdigerweise vorgestellten „Dreierspiels“ mirt „alle drei zusammen“, das ja schnell zu einem Noinerspiel ausufern kann, jedenfalls in Riva, wenn man am Gardasee nich aufpaßt/„guardatet“.
Reicht dir dieser Querweis?
Liebe Krüsse an alle (hab mir ja den Mund grade abbewischt), Moinmoin, mAni.
Hallo,
Ist dies auch für einen Laien verständlich darstellbar?
evtl. so: eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn deren Quersumme ohne Rest durch 3 teilbar ist. Allgemeiner - der Rest der beim durch 3 teilen einer Zahl ensteht ist identisch mit dem Rest der beim Teilen der Quersumme durch 3 ensteht. Der Rest beim (durch 3) teilen einer Differenz zweier Zahlen ist identisch mit der Differenz des größeren Restes der einen Zahl und des kleineren Restes der anderen Zahl beim (durch 3) teilen. Nun sind Quersumme von Zahl und Spiegelzahl identisch (allgemeiner: einer beliebig umgestellten Zahl (Permutation der Ziffern)) womit auch deren Reste beim durch 3 teilen identisch sind. Ergo ergibt sich beim teilen der Differenz durch 3 kein Rest - die Differenz ist also durch 3 teilbar.
Gruss
Enno
Tag.
Bei der Teilbarkeit durch „11“ spricht man von alternierender Quersumme. Also weden die Stellen abwechselnd positiv un dnegativ berücksichtigt und so auch per Rechenzeichen verknüpft.
Das funktioniert auch mit einer alternierenden Quersumme dritter Ordnung. Dabei werden nach dem gleichen Verfahren jeweils die ersten drei Stellen als Zahl addiert, die nächsten drei subtrahiert usw.
Bsp.: 234 589 987
+234-589+987=632 11|nicht 632=> 11 |nicht „die Zahl“.
Habs mal bewiesen aber wedr Lust noch die Fähigkeit, das jetzt hier zu formulieren, ist auch nicht schwierig.
Gruß,
Aragorn