He, erste Frage welches Betriebssystem verwendest Du. Ich hatte das gleiche Problem mit einem HP Photosmart B110. Unter Windows 7 funktionierte alles. Bei Windows 8.1 nicht mehr, habe mir dann die komplette Software (zum Betriebsystem 32/64bit) aus dem Internet heruntergeladen, und nun gehts auch unter Win 8.1. Versuche es, Viel Glück.
Bei der installation ist mir schon aufgefallen das die Druckersoftware nicht C309 sondern 310 hies aber von dem lies ich mich nicht irren.
Aber genau das hätte dir zu denken geben sollen. Ich weiß ja nicht woher du dir die falsche Software herunter geladen hast. Aber auf der Seite des Herstellers gibt es die „HP Photosmart Software Suite und Treiber“ für deinen „HP Photosmart Premium c309g“
Da musst du allerdings das richtige Betriebssystem von deinem Computer angeben. Dabei musst du nicht " nur" auf den Namen des Betriebssystems, sondern auch darauf achten ob dein Betriebssystem eine 32bit oder eine 64bit Variante ist.