Hallo, ich bin kein großer Mathematik-Freak, doch heute ging mir eine Sache nicht aus dem Kopf, deshalb hoffe ich, mir kann jemand dabei helfen. Vielleicht ist es ja auch unsinnig.
Angenommen, man verteilt n Punkte gleichmäßig auf der Linie eines Kreises und verbindet sie alle miteinander, so zählt man K(n) Flächen vom Kreis umschlossen.
Das ergibt dann
wenn ich mich jetzt nicht verzählt habe, dann hast du bei n=6 einen Fehler und es handelt sich um 32 Flächen. Ebenso für n=7, da sinds dann 64
Es sieht also so aus, dass es sich um f(n)=2^(n-1) handelt.
Beweisen können müsste man das mit vollständiger Induktion. Allerdings hab ich das auf die Schnelle nicht ganz hinbekommen.
Sei #F Anzahl der Flächen
Ind. Anfang: k=1 (Kreis mit 1. Punkt) #F=1
Ind. Behauptung: k=n => #F=2^(n-1)
Ind. Schritt: k->k+1
Hier kommt ich jetzt nicht ganz klar. Ansatz ist: Der neue Punkt hat Linien zu einem oder zwei Nachbarn, die jeweils eine Fläche verdoppeln. Er hat Lininen zu den Nachbarn der Nachbarn, die jeweils eine höhere Anzahl von Linien verdoppeln (für n=4: 2, für n=5: 3) usw. Da du Bio studierst gibt es bei Euch sicher auch Mathe. Frag doch mal einen Mathematiker deines Vertrauens …
Hallo Hartmut! Vielen Dank erstmal für die fixe Antwort.
wenn ich mich jetzt nicht verzählt habe, dann hast du bei n=6
einen Fehler und es handelt sich um 32 Flächen. Ebenso für
n=7, da sinds dann 64
Es war zwar schon zu später Stunde, als ich das nachgezählt habe, aber ich komme immer noch auf nur 30. Ich dachte nämlich auch zuerst an f(n)=2^(n-1).
Ich hab das mal zusammengefummelt: http://www.zyrano.de/extras/k6.gif
Werde ich mir wohl einen Mathematiker suchen müssen. Aber - „Vertrauen“ zwischen Mathematikern und Biologen?
Bin wohl zu lange an der Uni gewesen…
Ja, du hast recht. Mein Fehler lag in einer ungenauen Zeichnung und dem Unterschlagen des „gleichmässig auf dem Kreis verteilt“. Es sind keine 32, da in der Mitte Flächen „kollabieren“.
Kurze Diskussion unter den Kollegen ergab gerade, dass gerade und ungerade n u.U. getrennt zu behandeln sind …
Ich denk nochmal darüber nach (jedoch ohne Hoffnung auf Lösung
Kann man diese Reihe in eine mathematische Formel bringen? Und
am besten, wenn ja - wie? Gibt es etwas ähnliches?
Ich dachte scon eine Regel zu haben, als ich n um eins erhöhte, hats wieder nicht gestimmt, da ab n=9 sehr viele kleine Flächen in der Nähe der Mitte entstehen zu scheinen.
Link zur Lösung
Oh Mann, das ist harte Kost.
In harmlos aussehender Verpackung.
Nachdem ich mir die Zähne dran ausgebissen hab, hab ich mal systematisch gesucht.
Aaaaalso: das Problem ist schon älter, es war auchmal ein Preis dafür ausgesetzt worden, es ist aber erst vor kurzem von Bjorn Poonen und Michael Rubinstein gelöst worden (dabei stellte sich dann auch raus, dass der damalige Preisträger für eine falsche Lösung ausgezeichnet worden war) und setzt durchaus einiges voraus.
Hier ein Link zu der Arbeit (23 Seiten PDF): http://www.ma.utexas.edu/users/miker/publications/ng…
Najaaa, mit ein bißchen Überlegen wäre ich da auch drauf gekommen… )
Ich habe mir allerdings schon gedacht, daß die Idee mit dem Kreis im Grunde überflüssig ist, und es letzten Endes nur um Polygone geht. Aber sowas…
Werde mir mal in ruhiger Minute die mir verständlichen basics rauslesen.
Also auf jeden Fall vielen Dank für die Mühe, ich hatte schon nicht mehr mit einer Lösung gerechnet (gerechnet sowieso nicht).
