Hallo.
Ich möchte die Längen aller ganzzahligen Breitengradkreise der Erde addieren, also von -90° geographischer Breite (Südpol, l(-90°)=0 km) über 0° (Äqator, l(0)=40.000 km) bis +90° (Nordpol, l(+90°)=0 km).
(Da ich als Ergebnis eines Integrals nur 2*l(0) erhalte, habe ich wohl was falsch gemacht - wie gehts richtig? 
Danke+Gruß
Dumonde
Hallo, Dumonde,
Ich möchte die Längen aller ganzzahligen Breitengradkreise der
Erde addieren, also von -90° geographischer Breite (Südpol,
l(-90°)=0 km) über 0° (Äqator, l(0)=40.000 km) bis +90°
(Nordpol, l(+90°)=0 km).
Ich habe da ein Verständnis-Problem: Es gibt so ca. unendliche viele Breitenkreise (nämlich je einen Breitenkreis für jede reelle Zahl zw. -90 und +90). Daher wäre die Gesamtlänge auch unendlich. Welche Breitenkreise meinst Du daher? Für alle ganzzahligen Breitengrade (das wären 181)?
Fragende Grüsse,
Pürsti
Ja, alle 181 Breitenkreise (kT)
.
Hi…
Ich möchte die Längen aller ganzzahligen Breitengradkreise der
Erde addieren, also von -90° geographischer Breite (Südpol,
l(-90°)=0 km) über 0° (Äqator, l(0)=40.000 km) bis +90°
(Nordpol, l(+90°)=0 km).
(Da ich als Ergebnis eines Integrals nur 2*l(0) erhalte, habe
ich wohl was falsch gemacht - wie gehts richtig?
Integrieren funktioniert nicht, weil Du diskrete Werte brauchst. Der durchschnittliche Radius der Breitenkreise ist Erdradius mal Mittelwert der Cosinusfunktion im betrachteten Bereich (2/pi, diesen Wert kann man per Integral finden). Der mittlere Radius liefert einen mittleren Durchmesser und folglich ganz leicht eine gute Näherung für die gesuchte Summe.
Wenn Du es genau wissen willst, mußt Du tatsächlich alle Radien einzeln berechnen. Ein Tabellenkalkulationsprogramm macht Dir das aber auch mit wenigen Handgriffen.
genumi
Hallo Dumonde,
OK, für den Fall, dass die Erde eine ideale Kugel sei, muss man den Äquatorialumfang mit der Summe der cosini von -90 Grad bis +90 Grad multiplizieren. Diese Summe der cosini lässt sich relativ einfach am Computer mit einer simplen Schleife berechnen und ergibt ca. 114.5886501.
D.h. die Summe der Breitenkreise beträgt ca. das 114.6-fache der Äquatorlänge. Bei der Berechnung benutzte ich den Umstand, dass
90 89
Summe (cos(i)) = 1 + 2 \* Summe (cos(i))
i=-90 i=1
was dem Computer ein wenig das Rechnen erleichtert
HTH,
Pürsti
weitere Vereinfachung:
Hallo,
wenn man berücksichtigt, dass
sqrt(2) \* sin( alpha + 45 ) = cos( alpha ) + sin( alpha ) = cos( alpha ) + cos( 90 - alpha )
ist, vereinfacht sich die Summe zu
89
1 + sqrt(2) \* (1 + 2\* Summe( sin(i) ))
i=46
Pürsti
Hallo Pürsti,
… muss man den Äquatorialumfang mit der Summe der cosini von -90
Grad bis +90 Grad multiplizieren. Diese Summe der cosini lässt sich
relativ einfach am Computer mit einer simplen Schleife
berechnen und ergibt ca. 114.5886501.
ergänzende Bemerkung: wenn man bereit ist, eine kleine Ungenauigkeit in Kauf zu nehmen, kann man sich die Berechnung per Computer sparen, denn man weiß ja, dass das Ergebnis ungefähr gleich 360/pi (= 114.591559…) sein muss. Die Ungenauigkeit ist durch den Diskretisierungsfehler bedingt (in dieser Aufgabe werden 180 Schritte gemacht, aber das zugehörige Integral mit dem Resultat 360/pi ist „perfekt glatt“).
Gruß
Martin
Hallo Martin,
ergänzende Bemerkung: wenn man bereit ist, eine kleine
Ungenauigkeit in Kauf zu nehmen, kann man sich die Berechnung
per Computer sparen, denn man weiß ja, dass das Ergebnis
ungefähr gleich 360/pi (= 114.591559…) sein muss.
Die Ungenauigkeit ist durch den Diskretisierungsfehler bedingt
(in dieser Aufgabe werden 180 Schritte gemacht, aber das
zugehörige Integral mit dem Resultat 360/pi ist „perfekt
glatt“).
Danke für Deine Info! Ich dachte zuerst an ein Integral, wusste aber nicht, wie gross der Fehler sein würde, daher wählte ich die diskrete Lösung.
Einen schönen Tag,
Pürsti
Warum 360/pi?
denn man weiß ja, dass das Ergebnis ungefähr gleich 360/pi (= 114.591559…) sein muss.
Hallo Martin,
ich wusste das nicht
Wie kann man sich das herleiten?
Gruß Dumonde
Wie kann man sich das herleiten?
Hallo Dumonde,
na ja, das Integral
∫x = a…b f(x) dx
kannst Du doch näherungsweise berechnen durch die Summe
(b – a)/N ∑k = a…b f(k)
Der Vorfaktor (b – a)/N entspricht einfach dem „dx“ (Intervallänge b – a geteilt durch die Scanschritte-Anzahl N).
Daraus folgt:
∑ f(k) ≈ N/(b – a) ∫ f(x) dx
und das auf Deinen Fall angewendet sieht so aus:
(a = –90°, b = 90°, N = 180)
∑ cos(k) ≈ 180/180° ∫ cos(x) dx
∫0…90° cos(x) dx ist bekanntlich gleich 1, also ist ∫–90°…90° cos(x) dx = 2 (wegen Spiegelsymmetrie der cos-Funktion). 180° ist gleich π.
Also:
∑k = –90°…90° cos(k) ≈ 180/π * 2 = 360/π
Gruß
Martin
Wie kann man sich das herleiten?
Danke,
das hatte ich mich nicht zu fragen getraut. Meine letzten Differentialübungen habe ich im vorigen Jahrhundert ausgeführt Und was macht man jetzt damit ?
Grüße Roland
Wie kann man sich das herleiten?
Danke,
das hatte ich mich nicht zu fragen getraut. Meine letzten
Differentialübungen habe ich im vorigen Jahrhundert ausgeführt
Und was macht man jetzt damit ?
Hallo Roland,
ich würde ja gerne versuchen, Deine Frage zu beantworten, aber leider habe ich nicht verstanden, was Du mir sagen bzw. von mir wissen willst. Magst Du mir Dein Problem nochmal beschreiben, vielleicht etwas klarer formuliert?
Gruß
Martin
Hallo Martin,
ich will die Liste nicht unnötig aufblasen. Mir haben die Antworten schon genügend *hüstel* intellektuelle Entspannung geliefert, habe selbst wiedermal programmiert und: habe Deine Ableitung schon abgespeichert (wie so vieles …)
Die Frage „Und was macht man jetzt damit ?“ ging eigentlich mehr an Dumonde. Seine Formulierung
„Ich möchte die Längen aller ganzzahligen Breitengradkreise der Erde addieren,…“
klingt ja nicht unbedingt nach Hausaufgabe.
Grüße Roland
und was macht man damit
Hallo Martin,
Wenn ich mal nicht weiter weiß,
rechne ich 'nen Breitenkreis.
Wenn ich dann nicht weiterkomme,
bilde ich noch eine Summe.
Wächst das Dilemma gar zur Qual,
brauche ich ein Integral …
Ich sagte ja, das Forum bitte nicht mit unseriösen, zweitklassigen Beiträgen verstopfen.
Zum Jahresabschluss aber noch eine kleine Gemeinheit:
Bei der Lösung mittels Integrals ergibt sich als Summe der eigentlich dimensionslosen Cosinus = 2 rad *??*
Das geht mir im Kopf rum - oder ist das der 13%ige Rosé ?
Alles Gute, guten Rutsch
Roland