ich habe folgende Aufgaben, die sich um die Berechnung der Summe einer arithmetischen Folge drehen.
_ 1. _ Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
a) Alle positiven Zahlen mit drei Ziffen b) Alle ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000 c) Alle positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.
Zu 1a) hatte ich mir folgenden Lösungsansatz überlegt:
Sigma n=999;k=100 => (1/2)*999(100+999) = 548.950,5
Als Lösung soll hier jedoch 494.550 herauskommen.
Zu 1b) und 1c) habe ich leider keine Ahnung.
Bei der zweiten Aufgabe, die sich um das gleiche Thema dreht, komme ich leider auch nicht weiter:
Die Aufgabe lautet:
_ 2. _ Berechnen Sie die nachfolgenden Summen:
a) Sigma n=20; k=1 => (3k+2) b) Sigma n=70; k=10 => (7k-2)
Zu 2a) habe ich Folgendes gerechnet:
Sigma n=20;k=1 => (1/2)*20(5+62)
Hier erhalte ich eine Summe von 670. Dies stimmt mit den Lösungen überein.
Bei 2b) habe ich Folgendes gerechnet:
Sigma n=70;k=10 => (1/2)*70(488+68)
Hier erhalte ich 19.460. Nach den Lösungen kommt hier jedoch 16.958 heraus.
Bei 2a) komme ich auf die richtige Lösung.
Zu 1a), 1b), 1c) und 2b) habe ich jedoch keine Idee.
Wäre super nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
ich habe folgende Aufgaben, die sich um die Berechnung der
Summe einer arithmetischen Folge drehen.
_ 1. _ Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
a) Alle positiven Zahlen mit drei Ziffen b) Alle ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000 c) Alle positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern,
welche auf 2 oder 7 enden.
Zu 1a) hatte ich mir folgenden Lösungsansatz überlegt:
Sigma n=999;k=100 => (1/2)*999(100+999) = 548.950,5
Das kann nicht richtig sein, ueberleg Mal, wenn man ganze Zahlen addieren soll, und dabei ein Dezimalbruch rauskommt, dann muss was schiefgelaufen sein.
Als Lösung soll hier jedoch 494.550 herauskommen.
Diese Loesung ist richtig, denn, wo kommt die erste 999 in Deiner Rechnung her? Wieviele Zahlen gibt es zwischen 100 und 999?
Zu 1b) und 1c) habe ich leider keine Ahnung.
Analog: ueberlegen, welche Zahlen ueberhaupt in Frage kommen.
zu 1: Es sollte Dir keine unüberwindlichen Schwierigkeiten bereiten, jede dieser Summen einfach mal ganz schlicht ohne (!) Summenzeichen direkt mit den Zahlen hinzuschreiben. Nicht komplett natürlich, sondern nur ein Stück des Anfangs und ein Stück des Endes und dazwischen „…“.
Dann stellst Du Dir die Frage, wieviele Summanden es jeweils sind. Mit etwas Überlegung findest Du das heraus. Als zweites brauchst Du den arithmetischen Mittelwert vom größten und kleinsten Summanden. Das ist mit simplem Ausrechnen erledigt. Das Produkt dieser beiden Zahlen ist die gesuchte Summe.
Zur Kontrolle:
a) 900 · 549.5 = 494550
b) 500 · 1500 = 750000
c) 100 · 497 + 100 · 502 = 99900
zu 2: Ich würde mir einfach
\sum_{k=m}^{n} (ak + b) = \Big(\frac{n + m}{2} a + b\Big) N
mit N := n – m + 1 = die Anzahl der Summanden in der Summe \sum_{k=m}^{n}
herleiten und die jeweiligen Zahlenwerte einsetzen.
Die Aufgaben 1a) und 1b) sind für mich klar geworden.
Bei 1c) soll als Ergebnis aus den Lösungen 49.800 herauskommen.
Martin kommt hier auf eine Lösung von 99.900.
Hier nochmal die Aufgabe:
Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
Alle positiven Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.
Mein Lösungsansatz:
Die unterste Grenze ist 102, die oberste Grenze ist 997. Es gibt insgesamt 900 Zahlen zwischen 100 und 999, jedoch gibt es pro Zehnerintervall 2 Summanden. Somit komme ich auf 180, also:
(1/2)*180*(102+997) = 98.910
Laut dem Lösungsbuch stimmt dies nicht überein.
Habe ich noch etwas übersehen???
Die Zahlen der ersten beiden Spalten sind alle positiven Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden. Jedenfalls wüsste ich nicht, welche da zuviel oder zuwenig sein könnten.
Mein Lösungsansatz:
Die unterste Grenze ist 102, die oberste Grenze ist 997. Es
gibt insgesamt 900 Zahlen zwischen 100 und 999, jedoch gibt es
pro Zehnerintervall 2 Summanden. Somit komme ich auf 180,
Das funktioniert nicht. Du musst zwei separate Summen betrachten, nämlich jene aus allen auf 2 endenden Zahlen und jene aus allen auf 7 endenden Zahlen.
Laut dem Lösungsbuch stimmt dies nicht überein.
Man hege stets ein gesundes Misstrauen gegenüber Lösungsbüchern-Lösungen.
Aufgabe genauer lesen, da steht maximal dreistellig, also auch zwei- und einstellig. Also nochmal mit 2 als kleinster und 1000/10*2=200 Summanden rechnen.