Summe arithmetischer Folge

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

ich habe folgende Aufgaben, die sich um die Berechnung der Summe einer arithmetischen Folge drehen.

_ 1. _ Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:

a) Alle positiven Zahlen mit drei Ziffen
b) Alle ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000
c) Alle positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.

Zu 1a) hatte ich mir folgenden Lösungsansatz überlegt:
Sigma n=999;k=100 => (1/2)*999(100+999) = 548.950,5

Als Lösung soll hier jedoch 494.550 herauskommen.

Zu 1b) und 1c) habe ich leider keine Ahnung.

Bei der zweiten Aufgabe, die sich um das gleiche Thema dreht, komme ich leider auch nicht weiter:

Die Aufgabe lautet:

_ 2. _ Berechnen Sie die nachfolgenden Summen:

a) Sigma n=20; k=1 => (3k+2)
b) Sigma n=70; k=10 => (7k-2)

Zu 2a) habe ich Folgendes gerechnet:
Sigma n=20;k=1 => (1/2)*20(5+62)
Hier erhalte ich eine Summe von 670. Dies stimmt mit den Lösungen überein.

Bei 2b) habe ich Folgendes gerechnet:
Sigma n=70;k=10 => (1/2)*70(488+68)
Hier erhalte ich 19.460. Nach den Lösungen kommt hier jedoch 16.958 heraus.

Bei 2a) komme ich auf die richtige Lösung.
Zu 1a), 1b), 1c) und 2b) habe ich jedoch keine Idee.

Wäre super nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

#2

Tach, (und nur kurz, bin gerade im Stress)

ich habe folgende Aufgaben, die sich um die Berechnung der
Summe einer arithmetischen Folge drehen.

_ 1. _ Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:

a) Alle positiven Zahlen mit drei Ziffen
b) Alle ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000
c) Alle positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern,
welche auf 2 oder 7 enden.

Zu 1a) hatte ich mir folgenden Lösungsansatz überlegt:
Sigma n=999;k=100 => (1/2)*999(100+999) = 548.950,5

Das kann nicht richtig sein, ueberleg Mal, wenn man ganze Zahlen addieren soll, und dabei ein Dezimalbruch rauskommt, dann muss was schiefgelaufen sein.

Als Lösung soll hier jedoch 494.550 herauskommen.

Diese Loesung ist richtig, denn, wo kommt die erste 999 in Deiner Rechnung her? Wieviele Zahlen gibt es zwischen 100 und 999?

Zu 1b) und 1c) habe ich leider keine Ahnung.

Analog: ueberlegen, welche Zahlen ueberhaupt in Frage kommen.

Gruss
Paul

#3

Hallo,

von mir ein paar Tips:

ich habe folgende Aufgaben, die sich um die Berechnung der
Summe einer arithmetischen Folge drehen.

_ 1. _ Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:

a) Alle positiven Zahlen mit drei Ziffen

\sum_{i=100}^{999} = \sum_{i=1}^{999} - \sum_{i=1}^{99}

b) Alle ungeraden Zahlen zwischen 1000 und 2000

1000 + 1001 + 1002 + 1003 = 1001 - 1 + 1001 + 1003 - 1 + 1003

c) Alle positiven ganzen Zahlen von je maximal drei Ziffern,
welche auf 2 oder 7 enden.

2 + 7 = ?
12 + 17 = 10*1+2 + 10*1+7
102 + 107 + 112 + 117 = 10*10+2 + 10*10+7 + 10*11+2 + 10*11+7

Bei der zweiten Aufgabe, die sich um das gleiche Thema dreht,
komme ich leider auch nicht weiter:

Die Aufgabe lautet:

_ 2. _ Berechnen Sie die nachfolgenden Summen:

a) Sigma n=20; k=1 => (3k+2)

\sum_{k=1}^{20} (3k+2) = 3*\sum_{k=1}^{20} k + 2*20 = 670

b) Sigma n=70; k=10 => (7k-2)

analog zu 2a)

Gruß
Diether

#4

Hi,

weil es noch nicht klar herauskam: Die Formel ist

(Mitte zwischen oberer und unterer Grenze) mal (Anzahl der Summanden).

Beachte, dass es z.B. von 10 bis 20 nicht 10, sondern 11 Summanden sind.

Bei 1a) musst Du also, wie schon geschrieben, nur die Anzahl der Summanden korrigieren.

Bei 1b) ist die untere Grenze 1001 und die obere 1999, in Zweierschritten, also pro Zehnerintervall 5 Summanden etc.

Bei 1c) ist die untere Grenze 2, die obere 997, das ganze in 5er-Schritten, d.h. pro Zehnerintervall 2 Summanden.

In 2b) musst Du wieder die Anzahl der Zahlen zwischen 10 und 70 einsetzen, nicht die obere Grenze 70.

Gruß, Lutz

#5

Hallo,

zu 1: Es sollte Dir keine unüberwindlichen Schwierigkeiten bereiten, jede dieser Summen einfach mal ganz schlicht ohne (!) Summenzeichen direkt mit den Zahlen hinzuschreiben. Nicht komplett natürlich, sondern nur ein Stück des Anfangs und ein Stück des Endes und dazwischen „…“.

Dann stellst Du Dir die Frage, wieviele Summanden es jeweils sind. Mit etwas Überlegung findest Du das heraus. Als zweites brauchst Du den arithmetischen Mittelwert vom größten und kleinsten Summanden. Das ist mit simplem Ausrechnen erledigt. Das Produkt dieser beiden Zahlen ist die gesuchte Summe.

Zur Kontrolle:
a) 900 · 549.5 = 494550
b) 500 · 1500 = 750000
c) 100 · 497 + 100 · 502 = 99900

zu 2: Ich würde mir einfach

\sum_{k=m}^{n} (ak + b) = \Big(\frac{n + m}{2} a + b\Big) N

mit N := n – m + 1 = die Anzahl der Summanden in der Summe \sum_{k=m}^{n}

herleiten und die jeweiligen Zahlenwerte einsetzen.

Gruß
Martin

#6

Super, erstmal danke für eure Hilfe.

Die Aufgaben 1a) und 1b) sind für mich klar geworden.
Bei 1c) soll als Ergebnis aus den Lösungen 49.800 herauskommen.

Martin kommt hier auf eine Lösung von 99.900.

Hier nochmal die Aufgabe:

Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
Alle positiven Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden.

Mein Lösungsansatz:
Die unterste Grenze ist 102, die oberste Grenze ist 997. Es gibt insgesamt 900 Zahlen zwischen 100 und 999, jedoch gibt es pro Zehnerintervall 2 Summanden. Somit komme ich auf 180, also:

(1/2)*180*(102+997) = 98.910

Laut dem Lösungsbuch stimmt dies nicht überein.
Habe ich noch etwas übersehen???

#7

Martin kommt hier auf eine Lösung von 99.900.

Welche auch richtig ist. Das weiß ich aus diesem Grund:

s: 0;
for k: 0 thru 99 do
 (
 a: 10\*k + 2,
 b: 10\*k + 7,
 s: s + a + b,
 print(a, b, s)
 );

Dieses Mini-Programm für das Open-Source-CAS Maxima erzeugt die Zahlen und summiert sie auf. Die Ausgabe des Programms ist:

2 7 9
12 17 38
22 27 87
32 37 156
42 47 245
52 57 354
62 67 483
72 77 632
82 87 801
92 97 990
102 107 1199
112 117 1428
122 127 1677
132 137 1946
142 147 2235
152 157 2544
162 167 2873
172 177 3222
182 187 3591
192 197 3980
202 207 4389
212 217 4818
222 227 5267
232 237 5736
242 247 6225
252 257 6734
262 267 7263
272 277 7812
282 287 8381
292 297 8970
302 307 9579
312 317 10208
322 327 10857
332 337 11526
342 347 12215
352 357 12924
362 367 13653
372 377 14402
382 387 15171
392 397 15960
402 407 16769
412 417 17598
422 427 18447
432 437 19316
442 447 20205
452 457 21114
462 467 22043
472 477 22992
482 487 23961
492 497 24950
502 507 25959
512 517 26988
522 527 28037
532 537 29106
542 547 30195
552 557 31304
562 567 32433
572 577 33582
582 587 34751
592 597 35940
602 607 37149
612 617 38378
622 627 39627
632 637 40896
642 647 42185
652 657 43494
662 667 44823
672 677 46172
682 687 47541
692 697 48930
702 707 50339
712 717 51768
722 727 53217
732 737 54686
742 747 56175
752 757 57684
762 767 59213
772 777 60762
782 787 62331
792 797 63920
802 807 65529
812 817 67158
822 827 68807
832 837 70476
842 847 72165
852 857 73874
862 867 75603
872 877 77352
882 887 79121
892 897 80910
902 907 82719
912 917 84548
922 927 86397
932 937 88266
942 947 90155
952 957 92064
962 967 93993
972 977 95942
982 987 97911
992 997 99900

Die Zahlen der ersten beiden Spalten sind alle positiven Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden. Jedenfalls wüsste ich nicht, welche da zuviel oder zuwenig sein könnten.

Mein Lösungsansatz:
Die unterste Grenze ist 102, die oberste Grenze ist 997. Es
gibt insgesamt 900 Zahlen zwischen 100 und 999, jedoch gibt es
pro Zehnerintervall 2 Summanden. Somit komme ich auf 180,

Das funktioniert nicht. Du musst zwei separate Summen betrachten, nämlich jene aus allen auf 2 endenden Zahlen und jene aus allen auf 7 endenden Zahlen.

Laut dem Lösungsbuch stimmt dies nicht überein.

Man hege stets ein gesundes Misstrauen gegenüber Lösungsbüchern-Lösungen.

#8

Hi,

Aufgabe genauer lesen, da steht maximal dreistellig, also auch zwei- und einstellig. Also nochmal mit 2 als kleinster und 1000/10*2=200 Summanden rechnen.

Gruß, Lutz

#9

Hallo,

Bei 1c) soll als Ergebnis aus den Lösungen 49.800
herauskommen.

Martin kommt hier auf eine Lösung von 99.900.

Hier nochmal die Aufgabe:

Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
Alle positiven Zahlen von je maximal drei Ziffern, welche auf
2 oder 7 enden.

Du kannst die Aufgabe auf zwei Arten lösen.

  1. So wie Gauß (der Sage nach) auf seine Formel gekommen ist, dies entspricht etwa Deinem Ansatz:

\sum_{k=0}^{99} (10*k + 2 + 10*k + 7)

= \sum_{k=0}^{99} (10*k + 2) + \sum_{i=99}^0 (10*k + 7)

= \sum_{k=0}^{99} (10*k + 2) + \sum_{k=0}^{99} (10*(99-k) + 7)

= \sum_{k=0}^{99} (10*k + 2 + 10*(99-k) + 7)

= \sum_{k=0}^{99} (10*99 + 9)

= 100 * 999

= 99900

  1. Direkt Gauß verwenden:

\sum_{k=0}^{99} (10*k + 2 + 10*k + 7)

= 100 * 9 + 20 * \sum_{k=1}^{99} k

= 100 * 9 + 20 * (99*100)/2

= 99900

Gruß
Diether