Summe berechnen

Wissenschaft Physik
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Hallo.

Ich sitze zu später Stunde an der Summe

Summe (von x=1 bis Unendlich) [(x-2)^2/2^x]

fest

Ich weiss, dass 2 herauskommt. Kann es aber nicht nachweisen.

Wenn ich das erst einmal ausmultipliziere

Summe (von x=1 bis Unendlich)(x^2-4x+4)/2^n

Ich habe mir erst einmal gedacht, dass ich aus 2^x einfach e^(ln2 x) mache

(x^2-4x+4)/e^(ln2 x)

Und dafür mache ich dann eine Taylorreihenentwicklung an der Stlle x_0 = 0 bis zum zweiten Grad.

Erhalte dann

1+ln2 x + ln2/2! x^2

Setze ich das mal ein, habe ich die Summe (von x=1 bis Unendlich)

(x^2-4x+4)/(1+ln2 x + ln2/2 x^2)

ich kann bedauerlicherweise nichts wegkürzen. Nächste wahnsinns Idee - eine Polynomdivision. Aber die bringt mich wohl nicht weiter?
Den limes davon berechnen bringt mich ja auch nicht weiter.

Der wäre größer als 2.

Was würdet ihr hier machen?

Liebe Grüße
Disap

2

Hallo.

Ich sitze zu später Stunde an der Summe
Summe (von x=1 bis Unendlich) [(x-2)^2/2^x]
fest

Überleg Dir mal eine Umsummierung. Seit k=x-2. Dann hast Du bis auf einen Vorfaktor die Summe über k^2/2^k. Diese Summe ist einfacher zu betrachten.

Grüße
Markus

3

Hallo Disap,

Die Summe „Emma“(von x=1 bis Unendlich) [(x-2)^2/2^x] ist für m := x+2 gleich

S{m^2/2^[m+2]};-1,m,oo =
[1/4]*S{m^2/2^m};-1,m,oo =
[1/4]*2 + [1/4]*S{m^2/2^m};0,m,oo.

Zwischenrechnung zur Bestimmung von S{m^2/2^m};0,m,oo :
S := S{m^2/2^m};0,m,oo
S´ := S{[m+1]^2/2^[m+1]};0,m,oo
Dabei:

A. S´ = S
B. S´ = S{[m^2+2m+1]/[2\*2^m]};0,m,oo
gleich 1/2 mal:
 S{m^2/2^m};0,m,oo + (=S)
 2\*S{m/2^m};0,m,oo + (="2T")
 S{1/2^m};0,m,oo = (=2)

Nebenrechnung:
T = S{m/2^m};0,m,oo

T´:= S{[m+1]/2^[m+1]};0,m,oo
T´= T (warum wohl?!) UND:
T´= S{m/2^[m+1]};0,m,oo + S{1/2^[m+1]};0,m,oo
= [1/2]*S{m/2^m};0,m,oo + 1 = T/2 +1 -> T = T/2 +1
also T = 2.

Nun weiter:
S´ = S = [1/2]*(S+2T+2)= [1/2]*(S+2*2+2)
also S = S/2 +3 -> S = 6

Jetzt wieder ganz oben einsetzen:
„Emma“ =
[1/4]*2 + [1/4]*S{m^2/2^m};0,m,oo =
[1/4]*2 + [1/4]*6 = [1/4]*8 = 2. siehe dahier!

Habe zugegebenermaßen ein paar Zwischenschritte untern Tisch fallen lassen; wenn Fragen sind, bitte stellt sie!
Viele Grüße,
Jojo

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noch ein paar Spielereien hierzu
Hallo,
Hab noch ein paar Variationen von dieser Summe ausprobiert, mit erstaunlichen Ergebnissen.
Zum Beispiel: S(m^3/2^m),1,m,oo ist 1,5;
und S((m-3)^3/2^m),1,m,oo seltsamerweise = -1.
Steckt da vielleicht ein System dahinter? Was hat es mit diesen unkrummen Werten auf sich?
Dachte das könnte hier vielleicht jemanden interessieren?
Liebe Grüße,
Jojo

PS: Danke für die Sternchen (-;